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已知函數的圖象過坐標原點O,且在點處的切線的斜率是.

（Ⅰ）求實數的值； 

（Ⅱ）求在區(qū)間上的最大值；

（Ⅲ）對任意給定的正實數，曲線上是否存在兩點P、Q，使得是以O為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上？說明理由.

【解析】第一問當時，，則。

依題意得：，即    解得

第二問當時，，令得，結合導數和函數之間的關系得到單調性的判定，得到極值和最值

第三問假設曲線上存在兩點P、Q滿足題設要求，則點P、Q只能在軸兩側。

不妨設，則，顯然

∵是以O為直角頂點的直角三角形，∴

即    （*）若方程（*）有解，存在滿足題設要求的兩點P、Q；

若方程（*）無解，不存在滿足題設要求的兩點P、Q.

（Ⅰ）當時，，則。

依題意得：，即    解得

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

①當時，，令得

當變化時，的變化情況如下表：

		0
	—	0	+	0	—
	單調遞減	極小值	單調遞增	極大值	單調遞減

又，，�！�在上的最大值為2.

②當時, .當時, ,最大值為0；

當時, 在上單調遞增。∴在最大值為。

綜上，當時，即時，在區(qū)間上的最大值為2；

當時，即時，在區(qū)間上的最大值為。

（Ⅲ）假設曲線上存在兩點P、Q滿足題設要求，則點P、Q只能在軸兩側。

不妨設，則，顯然

∵是以O為直角頂點的直角三角形，∴

即    （*）若方程（*）有解，存在滿足題設要求的兩點P、Q；

若方程（*）無解，不存在滿足題設要求的兩點P、Q.

若，則代入（*）式得：

即，而此方程無解，因此。此時，

代入（*）式得：    即   （**）

令 ，則

∴在上單調遞增，  ∵     ∴,∴的取值范圍是。

∴對于，方程（**）總有解，即方程（*）總有解。

因此，對任意給定的正實數，曲線上存在兩點P、Q，使得是以O為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上

 

解析：依題意得f(x)的圖象關于直線x＝1對稱，f(x＋1)＝－f(x－1)，f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即函數f(x)是以4為周期的函數．由f(x)在[3,5]上是增函數與f(x)的圖象關于直線x＝1對稱得，f(x)在[－3，－1]上是減函數．又函數f(x)是以4為周期的函數，因此f(x)在[1,3]上是減函數，f(x)在[1,3]上的最大值是f(1)，最小值是f(3)．

答案：A

已知函數

（1）若函數的圖象經過P（3，4）點，求a的值；

（2）比較大小，并寫出比較過程；

（3）若，求a的值.

【解析】本試題主要考查了指數函數的性質的運用。第一問中，因為函數的圖象經過P（3，4）點，所以，解得，因為，所以.

（2）問中，對底數a進行分類討論，利用單調性求解得到。

（3）中，由知，.，指對數互化得到，，所以，解得所以， 或 .

解：⑴∵函數的圖象經過∴，即.        … 2分

又，所以.             ………… 4分

⑵當時，;

當時，. ……………… 6分

因為，，

當時，在上為增函數，∵，∴.

即.當時，在上為減函數，

∵，∴.即.      …………………… 8分

⑶由知，.所以，（或）.

∴.∴，       … 10分

∴ 或 ，所以， 或 .

 

水車問題.

水車是一種利用水流的動力進行灌溉的工具，圖1-6-5是一個水車的示意圖，它的直徑為3 m，其中心(即圓心)O距水面1.2 m.如果水車每4 min逆時針轉3圈，在水車輪邊緣上取一點P，我們知道在水車勻速轉動時，P點距水面的高度h(m)是一個變量，顯然，它是時間t(s)的函數.我們知道，h與t的函數關系反映了這個周期現象的規(guī)律.為了方便，不妨從P點位于水車與水面交點Q時開始記時(t=0).

首先，設法用解析式表示出這個函數關系，并用“五點法”作出這個函數在一個周期內的簡圖.

圖1-6-5

其次，我們討論如果雨季河水上漲或旱季河流水量減少時，所求得的函數解析式中的參數將發(fā)生哪些變化？若水車轉速加快或減慢，函數解析式中的參數又會受到怎樣的影響？