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②設(shè)當(dāng)n=k時(shí)時(shí).猜想成立.即. 7′ 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

已知數(shù)列{an}滿足an=
n
n-1
an-1-
1
3
n•(
2
3
)n(n≥2，n∈N*)，首項(xiàng)為a1=
4
9
；
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）記bn=
n-an
3n-2an
，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，求證：
3n-4
9
＜Tn＜
n
3
；
（3）設(shè)數(shù)列{cn}滿足c1=
1
2
，cn+1=
(
2
3
)k+1
ak
•
c
2
n
+cn，其中k為一個(gè)給定的正整數(shù)，
求證：當(dāng)n≤k時(shí)，恒有cn＜1．

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（2012•四川）記[x]為不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，例如，[2]=2，[1.5]=1，[-0.3]=-1．設(shè)a為正整數(shù)，數(shù)列{xn}滿足x1=a，xn+1=[
xn+[
a
xn
]
2
](n∈N*)，現(xiàn)有下列命題：
①當(dāng)a=5時(shí)，數(shù)列{xn}的前3項(xiàng)依次為5，3，2；
②對(duì)數(shù)列{xn}都存在正整數(shù)k，當(dāng)n≥k時(shí)總有xn=xk；
③當(dāng)n≥1時(shí)，xn＞
a
-1；
④對(duì)某個(gè)正整數(shù)k，若xk+1≥xk，則xk=[
a
]．
其中的真命題有
①③④
①③④
．（寫出所有真命題的編號(hào)）

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冪函數(shù)y=
x
的圖象上的點(diǎn) Pn（tn2，tn）（n=1，2，…）與x軸正半軸上的點(diǎn)Qn及原點(diǎn)O構(gòu)成一系列正△PnQn-1Qn（Q0與O重合），記an=|QnQn-1|
（1）求a1的值；   
（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式 an；
（3）設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若對(duì)于任意的實(shí)數(shù)λ∈[0，1]，總存在自然數(shù)k，當(dāng)n≥k時(shí)，3Sn-3n+2≥（1-λ）（3an-1）恒成立，求k的最小值．

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已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=n2+1，數(shù)列{bn}滿足：bn=
2
an+1
，前n項(xiàng)和為Tn，設(shè)Cn=T2n+1-Tn．   
（1）求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；
（2）是否存在自然數(shù)k，當(dāng)n≥k時(shí)，總有Cn＜
16
21
成立，若存在，求自然數(shù)k的最小值．若不存在，說明理由．

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已知在數(shù)列{an}中，a1=t，a2=t2，其中t＞0，x=
t
是函數(shù)f（x）=an-1x3-3[（t+1）an-an+1]x+1（n≥2）的一個(gè)極值點(diǎn)
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式
（Ⅱ）當(dāng)t=2時(shí)，令bn=
an-1
(an+1)(an+1+1)
，數(shù)列{bn}前n項(xiàng)的和為Sn，求證：Sn＜
1
6

（Ⅲ）設(shè)cn=
1
2
an
(2n+1)(2n+1+1)
，數(shù)列{cn}前n項(xiàng)的和為Tn，求同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件的t的值：
（1）Tn＜
1
6

（2）對(duì)于任意的m∈(0，
1
6
)，均存在k∈N*，當(dāng)n≥k時(shí)，Tn＞m．

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