題目列表(包括答案和解析)
數(shù)列
，滿足
（1）求
，并猜想通項公式
。
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）中的猜想。
【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項公式求解，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。第一問利用遞推關(guān)系式得到
，
，
，
，并猜想通項公式
第二問中，用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）中的猜想。
①對n=1，等式成立。
②假設(shè)n=k
時，
成立，
那么當(dāng)n=k+1時，
，所以當(dāng)n=k+1時結(jié)論成立可證。
數(shù)列，滿足
（1），，，并猜想通項公。 …4分
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）中的猜想。①對n=1，等式成立。 …5分
②假設(shè)n=k時，成立，
那么當(dāng)n=k+1時，
，
……9分
所以
所以當(dāng)n=k+1時結(jié)論成立 ……11分
由①②知，猜想對一切自然數(shù)n均成立
已知點
為圓
上的動點，且不在
軸上，
軸，垂足為
，線段
中點
的軌跡為曲線
，過定點
任作一條與
軸不垂直的直線
，它與曲線交于
、
兩點。
（I）求曲線的方程；
（II）試證明：在軸上存在定點
，使得
總能被軸平分
【解析】第一問中設(shè)
為曲線上的任意一點，則點
在圓
上，
∴
，曲線的方程為
第二問中，設(shè)點的坐標(biāo)為
，直線的方程為
， ………………3分
代入曲線的方程
，可得 
∵
，∴
確定結(jié)論直線與曲線總有兩個公共點．
然后設(shè)點,的坐標(biāo)分別
, 
，則
，
要使被軸平分，只要
得到。
（1）設(shè)為曲線上的任意一點，則點在圓上，
∴，曲線的方程為． ………………2分
（2）設(shè)點的坐標(biāo)為，直線的方程為， ………………3分
代入曲線的方程，可得 ，……5分
∵，∴
，
∴直線與曲線總有兩個公共點．（也可根據(jù)點M在橢圓的內(nèi)部得到此結(jié)論）
………………6分
設(shè)點,的坐標(biāo)分別, ，則，
要使被軸平分，只要，
………………9分
即
，
， ………………10分
也就是
，
，
即
，即只要
………………12分
當(dāng)
時，（＊）對任意的s都成立，從而總能被軸平分．
所以在x軸上存在定點
，使得
總能被
軸平分
有以下三個不等式：
；
；
．
請你觀察這三個不等式，猜想出一個一般性的結(jié)論，并證明你的結(jié)論。
【解析】根據(jù)已知條件可知歸納猜想結(jié)論為
下面給出運用綜合法的思想求解和證明。解：結(jié)論為：． …………………5分
證明：
所以
已知正項數(shù)列
的前n項和
滿足：
，
（1）求數(shù)列的通項
和前n項和；
（2）求數(shù)列
的前n項和
；
（3）證明：不等式 
對任意的
，
都成立．
【解析】第一問中，由于所以
兩式作差
，然后得到
從而
得到結(jié)論
第二問中，
利用裂項求和的思想得到結(jié)論。
第三問中，
又
結(jié)合放縮法得到。
解：（1）∵ ∴
∴
∴
∴ ………2分
又∵正項數(shù)列，∴
∴
又n=1時，
∴
∴數(shù)列是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列……………3分
∴
…………………4分
∴
…………………5分
（2）
…………………6分
∴
…………………9分
（3）
…………………12分
又
，
∴不等式 對任意的，都成立．
在本次數(shù)學(xué)期中考試試卷中共有10道選擇題，每道選擇題有4個選項，其中只有一個是正確的。評分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定：“每題只選一項，答對得5分，不答或答錯得0分”.某考生每道題都給出一個答案, 且已確定有7道題的答案是正確的，而其余題中，有1道題可判斷出兩個選項是錯誤的，有一道可以判斷出一個選項是錯誤的，還有一道因不了解題意只能亂猜。試求出該考生：
（1）選擇題得滿分(50分)的概率；
（2）選擇題所得分?jǐn)?shù)
的數(shù)學(xué)期望。
【解析】第一問總利用獨立事件的概率乘法公式得分為50分，10道題必須全做對．在其余的3道題中，有1道題答對的概率為
，有1道題答對的概率為
，還有1道答對的概率為
，
所以得分為50分的概率為： 
第二問中，依題意，該考生得分的范圍為｛35，40，45，50｝
得分為35分表示只做對了7道題，其余各題都做錯，
所以概率為
得分為40分的概率為：
同理求得，得分為45分的概率為：
得分為50分的概率為：
得到分布列和期望值。
解：（1）得分為50分，10道題必須全做對．在其余的3道題中，有1道題答對的概率為，有1道題答對的概率為，還有1道答對的概率為，
所以得分為50分的概率為： …………5分
（2）依題意，該考生得分的范圍為｛35，40，45，50｝ …………6分
得分為35分表示只做對了7道題，其余各題都做錯，
所以概率為 …………7分
得分為40分的概率為： …………8分
同理求得，得分為45分的概率為：
…………9分
得分為50分的概率為：
…………10分
所以得分的分布列為
|
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35 |
40 |
45 |
50 |
|
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|
|
|
數(shù)學(xué)期望
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