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如圖，在直三棱柱中，底面為等腰直角三角形，，為棱上一點(diǎn)，且平面平面.

（Ⅰ）求證：點(diǎn)為棱的中點(diǎn)；

（Ⅱ）判斷四棱錐和的體積是否相等，并證明。

【解析】本試題主要考查了立體幾何中的體積問題的運(yùn)用。第一問中，

易知，面。由此知：從而有又點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，所以點(diǎn)為棱的中點(diǎn).

（2）中由A₁B₁⊥平面B₁C₁CD，BC⊥平面A₁ABD，D為BB₁中點(diǎn)，可以得證。

（1）過點(diǎn)作于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連。面面且相交于，面內(nèi)的直線，面。……3分

又面面且相交于，且為等腰三角形，易知，面。由此知：，從而有共面，又易知面，故有從而有又點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，所以點(diǎn)為棱的中點(diǎn).               …6分

（2）相等．ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱，∴BB₁⊥A₁B₁，BB₁⊥BC，又A₁B₁⊥B₁C₁，BC⊥AB，

∴A₁B₁⊥平面B₁C₁CD，BC⊥平面A₁ABD（9分）∴V_A1-B1C1CD=1 /3 S_B1C1CD•A₁B₁=1/ 3 ×1 2 (B₁D+CC₁)×B₁C₁×A₁B₁VC-A₁ABD=1 /3 S_A1ABD•BC=1 /3 ×1 2 (BD+AA₁)×AB×BC∵D為BB₁中點(diǎn)，∴V_A1-B1C1CD=V_C-A1ABD

 

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC為正三角形，M、N、G分別是棱CC₁、AB、BC的中點(diǎn)，且.

（Ⅰ）求證：CN∥平面AMB₁；

（Ⅱ）求證： B₁M⊥平面AMG.

【解析】本試題主要是考查了立體幾何匯總線面的位置關(guān)系的運(yùn)用。第一問中，要證CN∥平面AMB₁；，只需要確定一條直線CN∥MP，既可以得到證明

第二問中，∵CC₁⊥平面ABC，∴平面CC₁ B₁ B⊥平面ABC，得到線線垂直，B₁M⊥AG，結(jié)合線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，可以得證。

解：(Ⅰ)設(shè)AB₁ 的中點(diǎn)為P，連結(jié)NP、MP ………………1分

∵CM   ，NP   ，∴CM       NP， …………2分

∴CNPM是平行四邊形，∴CN∥MP  …………………………3分

∵CN  平面AMB₁，MP奐  平面AMB₁，∴CN∥平面AMB₁…4分

(Ⅱ)∵CC₁⊥平面ABC，∴平面CC₁ B₁ B⊥平面ABC，

    ∵AG⊥BC，∴AG⊥平面CC₁ B₁ B，∴B₁M⊥AG………………6分

∵CC₁⊥平面ABC，平面A₁B₁C₁∥平面ABC，∴CC₁⊥AC，CC₁⊥B₁ C，  

設(shè)：AC=2a，則

…………………………8分

同理，…………………………………9分

∵ BB₁∥CC₁，∴BB₁⊥平面ABC，∴BB₁⊥AB，

………………………………10分

 

 

    （理）如圖，在正三棱柱（底面為正三角形，側(cè)棱與底面垂直）ABC—A₁B₁C₁中，M、N

分別為A₁B₁、BC的中點(diǎn).

   （I）試求的值，使；

   （II）設(shè)AC₁的中點(diǎn)為P，在（I）的條件下，求證：NP⊥平面AC₁M.

 

 

 

（文）已知函數(shù)的極大值

為7；當(dāng)x=3時，f（x）有極小值.

（I）求函數(shù)f（x）的解析式；

（II）求函數(shù)f（x）在點(diǎn)P（1，f（1））處的切線方程.