甲有一只放有a本《周易》，b本《萬(wàn)年歷》，c本《吳從紀(jì)要》的書(shū)箱，且a+b+c =6 (a，b，cN)，乙也有一只放有3本《周易》，2本《萬(wàn)年歷》，1《吳從紀(jì)要》的書(shū)箱，兩人各自從自己的箱子中任取一本書(shū)（由于每本書(shū)厚薄、大小相近，每本書(shū)被抽取出的可能性一樣），規(guī)定：當(dāng)兩本書(shū)同名時(shí)甲將被派出去完成某項(xiàng)任務(wù)，否則乙去.

(1) 用a、b、c表示甲去的概率；

(2) 若又規(guī)定：當(dāng)甲取《周易》，《萬(wàn)年歷》，《吳從紀(jì)要》而去的得分分別為1分、2分、3分，否則得0分，求甲得分的期望的最大值及此時(shí)a、b、c的值.

甲有一只放有a本《周易》，b本《萬(wàn)年歷》，c本《吳從紀(jì)要》的書(shū)箱，且a+b+c=6 （a，b，c∈N），乙也有一只放有3本《周易》，2本《萬(wàn)年歷》，1本《吳從紀(jì)要》的書(shū)箱，兩人各自從自己的箱子中任取一本書(shū)（由于每本書(shū)厚薄、大小相近，每本書(shū)被抽取出的可能性一樣），規(guī)定：當(dāng)兩本書(shū)同名時(shí)甲將被派出去完成某項(xiàng)任務(wù)，否則乙去．
（1）用a、b、c表示甲去的概率；
（2）若又規(guī)定：當(dāng)甲取《周易》，《萬(wàn)年歷》，《吳從紀(jì)要》而去的得分分別為1分、2分、3分，否則得0分，求甲得分的期望的最大值及此時(shí)a、b、c的值．

已知直三棱柱中, , ， 是和的交點(diǎn), 若.

（1）求的長(zhǎng)；  （2）求點(diǎn)到平面的距離；

（3）求二面角的平面角的正弦值的大小.

【解析】本試題主要考查了距離和角的求解運(yùn)用。第一問(wèn)中，利用ACCA為正方形, AC=3

第二問(wèn)中，利用面BBCC內(nèi)作CDBC, 則CD就是點(diǎn)C平面ABC的距離CD=，第三問(wèn)中，利用三垂線(xiàn)定理作二面角的平面角，然后利用直角三角形求解得到其正弦值為

解法一: (1)連AC交AC于E, 易證ACCA為正方形, AC=3 ……………  5分

(2)在面BBCC內(nèi)作CDBC, 則CD就是點(diǎn)C平面ABC的距離CD= … 8分

(3) 易得AC面ACB, 過(guò)E作EHAB于H, 連HC, 則HCAB

CHE為二面角C－AB－C的平面角. ………  9分

sinCHE=二面角C－AB－C的平面角的正弦大小為 ……… 12分

解法二: (1)分別以直線(xiàn)CB、CC、CA為x、y為軸建立空間直角坐標(biāo)系, 設(shè)|CA|=h, 則C(0, 0, 0), B(4, 0, 0), B(4, －3, 0), C(0, －3, 0), A(0, 0, h), A(0, －3, h), G(2, －, －) ………………………  3分

=(2, －, －), =(0, －3, －h(huán))  ……… 4分

·=0,  h=3

(2)設(shè)平面ABC得法向量=(a, b, c),則可求得=(3, 4, 0) (令a=3)

點(diǎn)A到平面ABC的距離為H=||=……… 8分

(3) 設(shè)平面ABC的法向量為=(x, y, z),則可求得=(0, 1, 1) (令z=1)

二面角C－AB－C的大小滿(mǎn)足cos== ………  11分

二面角C－AB－C的平面角的正弦大小為