題目列表(包括答案和解析)
已知函數(shù)
在
處取得極值2.
⑴ 求函數(shù)
的解析式；
⑵ 若函數(shù)在區(qū)間
上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍；
【解析】第一問中利用導(dǎo)數(shù)
又f(x)在x=1處取得極值2，所以
，
所以
第二問中，
因為
，又f(x)的定義域是R，所以由
，得-1<x<1，所以f(x)在[-1,1]上單調(diào)遞增，在
上單調(diào)遞減，當(dāng)f(x)在區(qū)間(m,2m+1)上單調(diào)遞增，則有
，得
解：⑴ 求導(dǎo)
，又f(x)在x=1處取得極值2，所以，即，所以
…………6分
⑵ 因為，又f(x)的定義域是R，所以由，得-1<x<1，所以f(x)在[-1,1]上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)f(x)在區(qū)間(m,2m+1)上單調(diào)遞增，則有，得， …………9分
當(dāng)f(x)在區(qū)間(m,2m+1)上單調(diào)遞減，則有
得
…………12分
.綜上所述，當(dāng)時，f(x)在(m,2m+1)上單調(diào)遞增，當(dāng)時，f(x)在(m,2m+1)上單調(diào)遞減；則實數(shù)m的取值范圍是或
設(shè)函數(shù)
．
（I）求
的單調(diào)區(qū)間；
（II）當(dāng)0<a<2時，求函數(shù)
在區(qū)間
上的最小值．
【解析】第一問定義域為真數(shù)大于零，得到
．
．
令
，則
，所以
或
，得到結(jié)論。
第二問中，
（
）．
．
因為0<a<2，所以
，
．令
可得
．
對參數(shù)討論的得到最值。
所以函數(shù)
在
上為減函數(shù)，在
上為增函數(shù)．
（I）定義域為． ………………………1分
．
令，則，所以或． ……………………3分
因為定義域為，所以．
令
，則
，所以
．
因為定義域為，所以
． ………………………5分
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為
，
單調(diào)遞減區(qū)間為
．
………………………7分
（II） （）．
．
因為0<a<2，所以，．令 可得．…………9分
所以函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)．
①當(dāng)
，即
時，
在區(qū)間上，在上為減函數(shù)，在
上為增函數(shù)．
所以
． ………………………10分
②當(dāng)
，即
時，在區(qū)間
上為減函數(shù)．
所以
．
綜上所述，當(dāng)時，
；
當(dāng)時，
已知函數(shù) 
R)．
（Ⅰ）若 
，求曲線
在點 
處的的切線方程；
（Ⅱ）若 
對任意 
恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
【解析】本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運用。
第一問中，利用當(dāng)
時，
．
因為切點為（
），
則
，
所以在點（）處的曲線的切線方程為：
第二問中，由題意得，
即
即可。
Ⅰ）當(dāng)時，．
，
因為切點為（），
則，
所以在點（）處的曲線的切線方程為：． ……5分
（Ⅱ）解法一：由題意得，即． ……9分
（注：凡代入特殊值縮小范圍的均給4分）
，
因為，所以
恒成立，
故
在
上單調(diào)遞增，
……12分
要使
恒成立，則
，解得．……15分
解法二：
……7分
（1）當(dāng)
時，在
上恒成立，
故在上單調(diào)遞增，
即．
……10分
（2）當(dāng)
時，令
，對稱軸
，
則
在上單調(diào)遞增，又
① 當(dāng)
，即
時，
在上恒成立，
所以在單調(diào)遞增，
即，不合題意，舍去
②當(dāng)
時，
，
不合題意，舍去 14分
綜上所述：
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