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已知f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，且f （1）=1，若m，n∈[-1，1]，m+n≠0時(shí)有

f(m)+f(n)

m+n

＞0．
（1）判斷f （x）在[-1，1]上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；
（2）解不等式：f（x+

1

2

）＜f（

1

x-1

）；
（3）若f（x）≤t²-2at+1對(duì)所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

已知函數(shù)f（x）=ln（x+a）-x²-x在x=0處取得極值．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若關(guān)于x的方程f(x)=-

5

2

x+b在區(qū)間[0，2]上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（3）證明：對(duì)任意的正整數(shù)n，不等式ln

n+1

n

＜

n+1

n2

都成立．

已知函數(shù)f（x）=ln（x+a）-x²-x在x=0處取得極值．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）若關(guān)于x的方程，f(x)=-

5

2

x+b在區(qū)間[0，2]上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（Ⅲ）證明：對(duì)任意的正整數(shù)n，不等式

2

12

+

3

22

+…+

n+1

n2

＞ln(n+1)成立．

已知函數(shù)f(x)=

x2

2

+ax+b，其中a、b∈R，g（x）=e^x（e是自然對(duì)數(shù)的底）．
（1）當(dāng)b＜a＜1，f（1）=0，且函數(shù)y=2f（x）+1的零點(diǎn)，證明：-

3

2

＜b≤-

1

2

；
（2）當(dāng)b=1時(shí)，若不等式f（x）≤g（x）在x∈(

1

2

，+∞)恒成立，求a的取值范圍．

已知函數(shù)f（x）滿足下列條件：（1）函數(shù)f（x）定義域?yàn)閇0，1]；（2）對(duì)于任意x∈[0，1]，f（x）≥0，且f（0）=0，f（1）=1；（3）對(duì)于滿足條件x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1的任意兩個(gè)數(shù)x₁，x₂，有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）．
（Ⅰ）證明：對(duì)于任意的0≤x≤y≤1，有f（x）≤f（y）；
（Ⅱ）證明：對(duì)于任意的0≤x≤1，有f（x）≤2x；
（Ⅲ）不等式f（x）≤1.9x對(duì)于一切x∈[0，1]都成立嗎？