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設橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦點為F，上頂點為A，過點A與AF垂直的直線分別交橢圓C與x軸正半軸于點P、Q，且

AP

=

8

5

PQ

．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）若過A、Q、F三點的圓恰好與直線l：x+

3

y+3=0相切，求橢圓C的方程．

設橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞1）右焦點為F，它與直線l：y=k（x+1）相交于P、Q兩點，l與x軸的交點M到橢圓左準線的距離為d，若橢圓的焦距是b與d+|MF|的等差中項．
（1）求橢圓離心率e；
（2）設N與M關于原點O對稱，若以N為圓心，b為半徑的圓與l相切，且

OP

•

OQ

=-

5

3

求橢圓C的方程．

設橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別是F₁、F₂，下頂點為A，線段OA的中點為B（O為坐標原點），如圖．若拋物線C₂：y=x²-1與y軸的交點為B，且經(jīng)過F₁，F(xiàn)₂點．
（Ⅰ）求橢圓C₁的方程；
（Ⅱ）設M（0，-

4

5

），N為拋物線C₂上的一動點，過點N作拋物線C₂的切線交橢圓C₁于P、Q兩點，求△MPQ面積的最大值．

設橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F₁與F₂，直線y=x-1過橢圓的一個焦點F₂且與橢圓交于P、Q兩點，若△F₁PQ的周長為4

2

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設橢圓C經(jīng)過伸縮變換

x′= 2 2 x y′=y

變成曲線C'，直線l：y=kx+m與曲線C'相切且與橢圓C交于不同的兩點A、B，若

OA

•

OB

=λ，且

2

3

≤λ≤

3

4

，求△OAB面積的取值范圍．（O為坐標原點）

設橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左，右兩個焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，短軸的上端點為B，短軸上的兩個三等分點為P，Q，且F₁PF₂Q為正方形．
（1）求橢圓的離心率；
（2）若過點B作此正方形的外接圓的切線在x軸上的一個截距為-

3 2

4

，求此橢圓方程．