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已知函數(shù)，數(shù)列的項(xiàng)滿足： ，（1）試求

（2） 猜想數(shù)列的通項(xiàng)，并利用數(shù)學(xué)歸納法證明.

【解析】第一問(wèn)中，利用遞推關(guān)系,

,   

第二問(wèn)中，由（1）猜想得：然后再用數(shù)學(xué)歸納法分為兩步驟證明即可。

解: (1) ,

,    …………….7分

（2）由（1）猜想得：

（數(shù)學(xué)歸納法證明）i) ,  ,命題成立

ii) 假設(shè)時(shí)，成立

則時(shí)，

綜合i),ii) : 成立

在平面直角坐標(biāo)系，已知圓心在第二象限、半徑為的圓與直線相切于坐標(biāo)原點(diǎn)．橢圓與圓的一個(gè)交點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為．

（1）求圓的方程；                (7分)

（2）試探究圓上是否存在異于原點(diǎn)的點(diǎn)，使到橢圓右焦點(diǎn)的距離等于線段的長(zhǎng)，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．  (7分)

設(shè)是兩個(gè)不共線的非零向量.

（1）若=，=，=，求證：A，B，D三點(diǎn)共線；

（2）試求實(shí)數(shù)k的值，使向量和共線. (本小題滿分13分)

【解析】第一問(wèn)利用=（）+（）+==得到共線問(wèn)題。

第二問(wèn)，由向量和共線可知

存在實(shí)數(shù)，使得=()

=，結(jié)合平面向量基本定理得到參數(shù)的值。

解：（1）∵=（）+（）+

==    ……………3分

∴      ……………5分

又∵∴A，B，D三點(diǎn)共線   ……………7分

（2）由向量和共線可知

存在實(shí)數(shù)，使得=()   ……………9分

∴=   ……………10分

又∵不共線

∴  ……………12分

解得

在平面直角坐標(biāo)系，已知圓心在第二象限、半徑為的圓與直線相切于坐標(biāo)原點(diǎn)．橢圓與圓的一個(gè)交點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為．

（1）求圓的方程；                (7分)

（2）試探究圓上是否存在異于原點(diǎn)的點(diǎn)，使到橢圓右焦點(diǎn)的距離等于線段的長(zhǎng)，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．  (7分)