如圖1所示，三角形ABC中，角ABC的角平分線與角ACB的外角答案解析
科目：czsx
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22、小明想把一個(gè)三角形拼接成面積與它相等的矩形．他先進(jìn)行了如下部分操作，如圖1所示：
①取△ABC的邊AB、AC的中點(diǎn)D、E，連接DE；
②過點(diǎn)A作AF⊥DE于點(diǎn)F；
（1）請(qǐng)你幫小明完成圖1的操作，把△ABC拼接成面積與它相等的矩形．
（2）若把一個(gè)三角形通過類似的操作拼接成一個(gè)與原三角形面積相等的
正方形，那么原三角形的一邊與這邊上的高之間的數(shù)量關(guān)系是
1：2
．
（3）在下面所給的網(wǎng)格中畫出符合（2）中條件的三角形，并將其拼接成面積與它相等的正方形．
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題型：
如圖，在△ABC中，AC=AB=2，∠A=90°，將一塊與△ABC全等的三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)C上，一直角邊與BC重疊．
（1）操作1：固定△ABC，將三角板沿C→B方向平移，使其直角頂點(diǎn)落在BC的中點(diǎn)M，如圖2所示，探究：三角板沿C→B方向平移的距離為
；
（2）操作2：在（1）的情況下，將三角板BC的中點(diǎn)M順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角度a（0°＜a＜90°），如圖3所示，探究：設(shè)三角形板兩直角邊分別與AB、AC交于點(diǎn)P、Q，觀察四邊形MPAQ形狀的變化，問：四邊形MPAQ的面積S是否改變，若不變，求其面積；若改變，試說明理由；
（3）在（2）的情形下，連PQ，設(shè)BP=x，記△MPQ的面積為y，試求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求x為何值時(shí)，y的值是四邊形MPAQ的面積的一半，此時(shí)，指出四邊形MPAQ的形狀．
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題型：
24、（1）如圖1中的兩個(gè)圖形成中心對(duì)稱，找到對(duì)稱中心O．
（2）圖2中的兩個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形，畫出它們的對(duì)稱軸．
（3）在圖3所示編號(hào)為（1）、（2）、（3）、（4）的四個(gè)三角形中，關(guān)于直線y對(duì)稱的兩個(gè)三角形的編號(hào)為
（1）（2）
；關(guān)于O對(duì)稱的兩個(gè)三角形的編號(hào)為
（1）（3）
．
（4）圖4中，畫出與△ABC關(guān)于直線x對(duì)稱的△A
1B
1C
1
（5）有一個(gè)大圓，兩個(gè)相等的小圓．問三個(gè)圓怎樣放，才能使組成的圖形分別滿足“①有一條對(duì)稱軸；②有兩條對(duì)稱軸；③有無數(shù)條對(duì)稱軸”？（分別在三個(gè)大圓上畫兩個(gè)小圓）．
（6）如圖5所示，圓心A、B、C的坐標(biāo)分別是A （2，-3）、B （3，-3），C （4，-3），試畫出這個(gè)圖案關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的圖案．
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如圖一，已知點(diǎn)P是邊長(zhǎng)為a的等邊△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，點(diǎn)P到三邊的距離PD、PE、PF的長(zhǎng)分別記為h
1，h
2，h
3，則h
1，h
2，h
3之間有什么關(guān)系呢？
分析：連接PA、PB、PC，則△ABC被分割成三個(gè)三角形，根據(jù)：
S
△PAB+S
△PBC+S
△PAC=S
△ABC，即：
ah1+ah2+ah3=a2，可得
h1+h2+h3=a．
問題1：若點(diǎn)P是邊長(zhǎng)為a的等邊△ABC外一點(diǎn)（如圖二所示位置），點(diǎn)P到三邊的距離PD、PE、PF的長(zhǎng)分別記為h
1，h
2，h
3．探索h
1，h
2，h
3之間有什么關(guān)系呢？并證明你的結(jié)論；
問題2：如圖三，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，點(diǎn)P是BC邊上任意一點(diǎn)（可與B、C重合），B、C、D三點(diǎn)到射線AP的距離分別是h
1，h
2，h
3，設(shè)h
1+h
2+h
3=y，線段AP=x，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求y的最大值與最小值．
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題型：
如圖1所示為三角形紙片ABC，
上有一點(diǎn)P．已知將A，B，C往內(nèi)折至P時(shí)，出現(xiàn)折線
，
，
，其中Q、R、S、T四點(diǎn)會(huì)分別在
，
，
，
上，如圖2所示．若△ABC、四邊形PTQR的面積分別為16、5，則△PRS面積為（ ?。?BR>
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題型：
如圖1所示，等邊△ABC中，AD是BC邊上的中線，根據(jù)等腰三角形的“三線合一”特性，AD平分∠BAC，且AD⊥BC，則有∠BAD=30°，
BD=CD=AB．于是可得出結(jié)論“直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”．
請(qǐng)根據(jù)從上面材料中所得到的信息解答下列問題：
（1）△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：2：3，AB=a，則BC=
；
（2）如圖2所示，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，垂足為E，當(dāng)BD=5cm，∠B=30°時(shí)，△ACD的周長(zhǎng)=
15cm
15cm
．
（3）如圖3所示，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB，垂足為E，那么BE：EA=
3：1
3：1
．
（4）如圖4所示，在等邊△ABC中，D、E分別是BC、AC上的點(diǎn)，且∠CAD=∠ABE，AD、BE交于點(diǎn)P，作BQ⊥AD于Q，猜想PB與PQ的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
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題型：閱讀理解
29、閱讀探究題：數(shù)學(xué)課上，張老師向大家介紹了等腰三角形的基本知識(shí)：有兩條邊相等的三角形叫等腰三角形，如圖1所示：在△ABC中，若AB=AC，則△ABC為等腰三角形且有∠B=∠C．此時(shí)，張老師出示了問題：如圖2，四邊形ABCD是正方形（正方形的四邊相等，四個(gè)角都是直角），點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)．∠AEF=90°，且EF交∠DCG的平分線CF于點(diǎn)F，求證：AE=EF．經(jīng)過思考，小明展示了一種正確的解題思路：在線段AB上取AB的中點(diǎn)M，連接ME，則AM=EC，在此基礎(chǔ)上，請(qǐng)聰明的同學(xué)們作進(jìn)一步的研究：
（1）求出角∠AME的度數(shù)；
（2）你能在小明的思路下證明結(jié)論嗎？
（3）小穎提出：如圖3，如果把“點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)E是邊BC上（除B，C外）的任意一點(diǎn)”，其它條件不變，那么結(jié)論“AE=EF”仍然成立，你認(rèn)為小穎的觀點(diǎn)正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請(qǐng)說明理由；
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題型：
小明想把一個(gè)三角形拼接成面積與它相等的矩形．他先進(jìn)行了如下部分操作，如圖1所示：作△ABC的中位線DE，過點(diǎn)A作AF⊥DE于點(diǎn)F，這樣△ABC就被分成三部分．
（1）請(qǐng)你在圖1中繼續(xù)操作，把△ABC拼接成面積與它相等的矩形．（畫出示意圖）
（2）若把一個(gè)三角形通過類似的操作可以拼接成一個(gè)與原三角形面積相等的正方形，那么原三角形的一邊a與這邊上的高h(yuǎn)之間的數(shù)量關(guān)系是
1：2
1：2
．
（3）在圖2的網(wǎng)格中畫出一個(gè)符合（2）中條件的三角形，并將其拼接成面積與它相等的正方形．（畫出示意圖）
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題型：
如圖1所示，在△ABC中，AB=AC=2，∠A=90°，O為BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)E在BA邊上自由移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)F在AC邊上自由移動(dòng)．
（1）點(diǎn)E，F(xiàn)的移動(dòng)過程中，△OEF是否能成為∠EOF=45°的等腰三角形？若能，請(qǐng)指出△OEF為等腰三角形時(shí)動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)的位置；若不能，請(qǐng)說明理由；
（2）當(dāng)∠EOF=45°時(shí)，設(shè)BE=x，CF=y，求y與x之間的函數(shù)解析式，寫出x的取值范圍；
（3）在滿足（2）中的條件時(shí)，若以O(shè)為圓心的圓與AB相切（如圖2），試探究直線EF與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
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題型：
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)總是如數(shù)學(xué)知識(shí)自身的生長(zhǎng)歷史一樣，往往起源于猜測(cè)中的發(fā)現(xiàn)，我們所發(fā)現(xiàn)的不一定對(duì)，但是當(dāng)利用我們已有的知識(shí)作為推理的前提論證之后，當(dāng)所發(fā)現(xiàn)的在邏輯上沒有矛盾之后，就可以作為新的推理的前提，數(shù)學(xué)中稱之為定理．
（1）嘗試證明：
等腰三角形的探索中借助折紙發(fā)現(xiàn)：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．但是當(dāng)時(shí)并未說明這個(gè)結(jié)論的合理．現(xiàn)在我們學(xué)些了矩形的判定和性質(zhì)之后，就可以解決這個(gè)問題了．如圖1若在Rt△ABC中CD是斜邊AB的中線，則
CD=AB，你能用矩形的性質(zhì)說明這個(gè)結(jié)論嗎？請(qǐng)說明．
（2）遷移運(yùn)用：利用上述結(jié)論解決下列問題：
①如圖2所示，四邊形ABCD中，∠BAD=90°，∠DCB=90°，EF分別是BD、AC的中點(diǎn)，請(qǐng)你說明EF與AC的位置關(guān)系．
②如圖3所示，?ABCD中，以AC為斜邊作Rt△ACE，∠AEC=90°，且∠BED=90°，試說明平行四邊形ABCD是矩形．
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題型：
（1）如圖1，經(jīng)歷矩形性質(zhì)的探索過程，你可以發(fā)現(xiàn)：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半．如在Rt△ABC中CD是斜邊AB的中線，則CD=
AB，你能用矩形的性質(zhì)說明這個(gè)結(jié)論嗎？
（2）利用上結(jié)論述解答下列問題：如圖2所示，四邊形ABCD中，∠A=90°，∠C=90°，EF分別是BD、AC的中點(diǎn)，請(qǐng)你說明EF與AC的位置關(guān)系（提示：連接AE、CE）
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題型：
24、如圖，已知：AD是△ABC中BC邊的中線，則S
△ABD=S
△ACD，依據(jù)是
等底等高的三角形面積相等
規(guī)定；若一條直線l把一個(gè)圖形分成面積相等的兩個(gè)圖形，則稱這樣的直線l叫做這個(gè)圖形的等積直線．根據(jù)此定義，在圖1中易知直線為△ABC的等積直線．
（1）如圖2，在矩形ABCD中，直線l經(jīng)過AD，BC邊的中點(diǎn)M、N，請(qǐng)你判斷直線l是否為該矩形的等積直線
是
（填“是”或“否”）．在圖2中再畫出一條該矩形的等積直線．（不必寫作法）
（2）如圖3，在梯形ABCD中，直線l經(jīng)過上下底AD、BC邊的中點(diǎn)M、N，請(qǐng)你判斷直線l是否為該梯形的等積直線
是
（填“是”或“否”）．
（3）在圖3中，過M、N的中點(diǎn)O任作一條直線PQ分別交AD，BC于點(diǎn)P、Q，如圖4所示，猜想PQ是否為該梯形的等積直線？請(qǐng)說明理由．
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題型：
（本小題滿分5分）
小明想把一個(gè)三角形拼接成面積與它相等的矩形．他先進(jìn)行了如下部分操作，如圖1所示：
①取△ABC的邊AB、AC的中點(diǎn)D、E，聯(lián)結(jié)DE；
②過點(diǎn)A作AF⊥DE于點(diǎn)F；
（1）請(qǐng)你幫小明完成圖1的操作，把△ABC拼接成面積與它相等的矩形．
（2）若把一個(gè)三角形通過類似的操作拼接成一個(gè)與原三角形面積相等的正方形，那么原三角形的一邊與這邊上的高之間的數(shù)量關(guān)系是________________．
（3）在下面所給的網(wǎng)格中畫出符合（2）中條件的三角形，并將其拼接成面積與它相等的正方形．
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來源：2011年初中畢業(yè)升學(xué)考試（貴州六盤水卷）數(shù)學(xué)
題型：解答題
（2011貴州六盤水，25，16分）如圖10所示，Rt△ABC是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的紙片，點(diǎn)C與原點(diǎn)O重合，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)B在y軸的正半軸上，已知OA=3，OB＝4。將紙片的直角部分翻折，使點(diǎn)C落在AB邊上，記為D點(diǎn)，AE為折痕，E在y軸上。
（1）在圖10所示的直角坐標(biāo)系中，求E點(diǎn)的坐標(biāo)及AE的長(zhǎng)。
（2）線段AD上有一動(dòng)點(diǎn)P（不與A、D重合）自A點(diǎn)沿AD方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度向D點(diǎn)作勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0<t<3），過P點(diǎn)作PM∥DE交AE于M點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN∥AD交DE于N點(diǎn)，求四邊形PMND的面積S與時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)t取何值時(shí)，S有最大值？最大值是多少？
（3）當(dāng)t（0<t<3）為何值時(shí)，A、D、M三點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形？并求出點(diǎn)M的坐標(biāo)。
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科目：czsx
來源：
題型：
（2011貴州六盤水，25，16分）如圖10所示，Rt△ABC是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的紙片，點(diǎn)C與原點(diǎn)O重合，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)B在y軸的正半軸上，已知OA=3，OB＝4。將紙片的直角部分翻折，使點(diǎn)C落在AB邊上，記為D點(diǎn)，AE為折痕，E在y軸上。
（1）在圖10所示的直角坐標(biāo)系中，求E點(diǎn)的坐標(biāo)及AE的長(zhǎng)。
（2）線段AD上有一動(dòng)點(diǎn)P（不與A、D重合）自A點(diǎn)沿AD方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度向D點(diǎn)作勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0<t<3），過P點(diǎn)作PM∥DE交AE于M點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN∥AD交DE于N點(diǎn)，求四邊形PMND的面積S與時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)t取何值時(shí)，S有最大值？最大值是多少？
（3）當(dāng)t（0<t<3）為何值時(shí)，A、D、M三點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形？并求出點(diǎn)M的坐標(biāo)。
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來源：
題型：解答題
Rt△ABC在直角坐標(biāo)系內(nèi)的位置如圖1所示，反比例函數(shù)
在第一象限內(nèi)的圖象與BC邊交于點(diǎn)D（4，m），與直線AB：y=
x+b交于點(diǎn)E（2，n）．
（1）m=______，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為______；（用含n的代數(shù)式表示）；
（2）若△BDE的面積為2，設(shè)直線AB與y軸交于點(diǎn)F，問：在射線FD上，是否存在異于點(diǎn)D的點(diǎn)P，使得以P、B、F為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（3）在（2）的條件下，現(xiàn)有一動(dòng)點(diǎn)M，從O點(diǎn)出發(fā)，沿x軸的正方向，以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），問：是否存在這樣的t，使得在直線AB上，有且只有一點(diǎn)N，滿足∠MNC=45°？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
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來源：2011屆河南省周口市初三下學(xué)期第二十七章相似三角形檢測(cè)題
題型：解答題
（本小題滿分5分）
小明想把一個(gè)三角形拼接成面積與它相等的矩形．他先進(jìn)行了如下部分操作，如圖1所示：
①取△ABC的邊AB、AC的中點(diǎn)D、E，聯(lián)結(jié)DE；
②過點(diǎn)A作AF⊥DE于點(diǎn)F；
（1）請(qǐng)你幫小明完成圖1的操作，把△ABC拼接成面積與它相等的矩形．
（2）若把一個(gè)三角形通過類似的操作拼接成一個(gè)與原三角形面積相等的正方形，那么原三角形的一邊與這邊上的高之間的數(shù)量關(guān)系是________________．
（3）在下面所給的網(wǎng)格中畫出符合（2）中條件的三角形，并將其拼接成面積與它相等的正方形．
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來源：2013年江蘇省無錫市濱湖區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷（解析版）
題型：解答題
Rt△ABC在直角坐標(biāo)系內(nèi)的位置如圖1所示，反比例函數(shù)
在第一象限內(nèi)的圖象與BC邊交于點(diǎn)D（4，m），與直線AB：y=
x+b交于點(diǎn)E（2，n）．
（1）m=______，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為______；（用含n的代數(shù)式表示）；
（2）若△BDE的面積為2，設(shè)直線AB與y軸交于點(diǎn)F，問：在射線FD上，是否存在異于點(diǎn)D的點(diǎn)P，使得以P、B、F為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（3）在（2）的條件下，現(xiàn)有一動(dòng)點(diǎn)M，從O點(diǎn)出發(fā)，沿x軸的正方向，以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），問：是否存在這樣的t，使得在直線AB上，有且只有一點(diǎn)N，滿足∠MNC=45°？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
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來源：
題型：
（本小題滿分5分）
小明想把一個(gè)三角形拼接成面積與它相等的矩形．他先進(jìn)行了如下部分操作，如圖1所示：
①取△ABC的邊AB、AC的中點(diǎn)D、E，聯(lián)結(jié)DE；
②過點(diǎn)A作AF⊥DE于點(diǎn)F；
（1）請(qǐng)你幫小明完成圖1的操作，把△ABC拼接成面積與它相等的矩形．
（2）若把一個(gè)三角形通過類似的操作拼接成一個(gè)與原三角形面積相等的正方形，那么原三角形的一邊與這邊上的高之間的數(shù)量關(guān)系是________________．
（3）在下面所給的網(wǎng)格中畫出符合（2）中條件的三角形，并將其拼接成面積與它相等的正方形．
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科目：czsx
來源：2010-2011學(xué)年河南省周口市初三下學(xué)期第二十七章相似三角形檢測(cè)題
題型：解答題
（本小題滿分5分）
小明想把一個(gè)三角形拼接成面積與它相等的矩形．他先進(jìn)行了如下部分操作，如圖1所示：
①取△ABC的邊AB、AC的中點(diǎn)D、E，聯(lián)結(jié)DE；
②過點(diǎn)A作AF⊥DE于點(diǎn)F；
（1）請(qǐng)你幫小明完成圖1的操作，把△ABC拼接成面積與它相等的矩形．
（2）若把一個(gè)三角形通過類似的操作拼接成一個(gè)與原三角形面積相等的正方形，那么原三角形的一邊與這邊上的高之間的數(shù)量關(guān)系是________________．
（3）在下面所給的網(wǎng)格中畫出符合（2）中條件的三角形，并將其拼接成面積與它相等的正方形．
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