（15分）（2015•益陽）已知拋物線E1：y=x2經(jīng)過點(diǎn)A（1，m），以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的拋物線E2經(jīng)過點(diǎn)B（2，2），點(diǎn)A、B關(guān)于y 軸的對(duì)稱點(diǎn)分別為點(diǎn)A′，B′．

（1）求m的值及拋物線E2所表示的二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）如圖1，在第一象限內(nèi)，拋物線E1上是否存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)Q、B、B′為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）如圖2，P為第一象限內(nèi)的拋物線E1上與點(diǎn)A不重合的一點(diǎn)，連接OP并延長(zhǎng)與拋物線E2相交于點(diǎn)P′，求△PAA′與△P′BB′的面積之比．

如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，一塊等腰直角三角板ABC的直角頂點(diǎn)A在y軸上，坐標(biāo)為（0，－1），另一頂點(diǎn)B坐標(biāo)為（－2，0），已知二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖象經(jīng)過B、C兩點(diǎn)．現(xiàn)將一把直尺放置在直角坐標(biāo)系中，使直尺的邊A'D'∥y軸且經(jīng)過點(diǎn)B，直尺沿x軸正方向平移，當(dāng)A'D'與y軸重合時(shí)運(yùn)動(dòng)停止．

（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)及二次函數(shù)的關(guān)系式；

（2）若運(yùn)動(dòng)過程中直尺的邊A'D'交邊BC于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)N，求線段MN長(zhǎng)度的最大值；

（3）如圖②，設(shè)點(diǎn)P為直尺的邊A'D'上的任一點(diǎn)，連接PA、PB、PC，Q為BC的中點(diǎn)，試探究：在直尺平移的過程中，當(dāng)PQ＝時(shí)，線段PA、PB、PC之間的數(shù)量關(guān)系．請(qǐng)直接寫出結(jié)論，并指出相應(yīng)的點(diǎn)P與拋物線的位置關(guān)系．

（說明：點(diǎn)與拋物線的位置關(guān)系可分為三類，例如，圖②中，點(diǎn)A在拋物線內(nèi)，點(diǎn)C在拋物線上，點(diǎn)D'在拋物線外．）

如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，一塊等腰直角三角板ABC的直角頂點(diǎn)A在y軸上，坐標(biāo)為（0，﹣1），另一頂點(diǎn)B坐標(biāo)為（﹣2，0），已知二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象經(jīng)過B、C兩點(diǎn)．現(xiàn)將一把直尺放置在直角坐標(biāo)系中，使直尺的邊A′D′∥y軸且經(jīng)過點(diǎn)B，直尺沿x軸正方向平移，當(dāng)A′D′與y軸重合時(shí)運(yùn)動(dòng)停止．

（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)及二次函數(shù)的關(guān)系式；

（2）若運(yùn)動(dòng)過程中直尺的邊A′D′交邊BC于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)N，求線段MN長(zhǎng)度的最大值；

（3）如圖②，設(shè)點(diǎn)P為直尺的邊A′D′上的任一點(diǎn)，連接PA、PB、PC，Q為BC的中點(diǎn)，試探究：在直尺平移的過程中，當(dāng)PQ=時(shí)，線段PA、PB、PC之間的數(shù)量關(guān)系．請(qǐng)直接寫出結(jié)論，并指出相應(yīng)的點(diǎn)P與拋物線的位置關(guān)系．

（說明：點(diǎn)與拋物線的位置關(guān)系可分為三類，例如，圖②中，點(diǎn)A在拋物線內(nèi)，點(diǎn)C在拋物線上，點(diǎn)D′在拋物線外．）