探究問題

(1)閱讀理解：

①如圖1，在△ABC所在平面上存在一點(diǎn)P，使它到三角形三頂點(diǎn)的距離之和最小，則稱點(diǎn)P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，此時(shí)PA＋PB＋PC的值為△ABC的費(fèi)馬距離．

②如圖2，若四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上，則有AB·CD＋BC·AD＝AC·BD．此為托勒密定理．

(2)知識(shí)遷移：

①請(qǐng)你利用托勒密定理，解決如下問題：

如圖3，已知點(diǎn)P為等邊△ABC外接圓的弧BC_{上任意一點(diǎn)．求證：PB＋PC＝PA．}

②根據(jù)(2)①的結(jié)論，我們有如下探尋△ABC(其中∠A、∠B、∠C均小于120º)的費(fèi)馬點(diǎn)和費(fèi)馬距離的方法：

第一步：如圖4，在△ABC的外部以BC為邊長作等邊△BCD及其外接圓；

第二步：在弧BC上取一點(diǎn)P₀，連接P₀A、P₀B、P₀C、P₀D．

易知P₀A＋P₀B＋P₀C＝P₀A＋(P₀B＋P₀C)＝P₀A＋　　　 ；

第三步：請(qǐng)你根據(jù)(1)①中定義，在圖4中找出△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)P，線段　 　的長度即為△ABC的費(fèi)馬距離．

(3)知識(shí)應(yīng)用：

2010年4月，我國西南地區(qū)出現(xiàn)了罕見的持續(xù)干旱現(xiàn)象，許多村莊出現(xiàn)了人、畜飲水困難．為解決老百姓飲水問題，解放軍某部到云南某地打井取水．

已知三村莊A、B、C構(gòu)成了如圖5所示的△ABC(其中∠A、∠B、∠C均小于120º)，現(xiàn)選取一點(diǎn)P打水井，使水井P到三村莊A、B、C所鋪設(shè)的輸水管總長度最?。筝斔芸傞L度的最小值．

如圖（1），P為△ABC所在平面上一點(diǎn)，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，則點(diǎn)P叫做△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．

（1）如點(diǎn)P為銳角△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．且∠ABC=60°，PA=3，PC=4，求PB的長．
（2）如圖（2），在銳角△ABC外側(cè)作等邊△ACB′連結(jié)BB′．求證：BB′過△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)P，且BB′=PA+PB+PC．
（3）已知銳角△ABC，∠ACB=60°，分別以三邊為邊向形外作等邊三角形ABD，BCE，ACF，請(qǐng)找出△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，并探究S_△ABC與S_△ABD的和，S_△BCE與S_△ACF的和是否相等．

等邊三角形ABC的邊長為6，將其放置在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，其中BC邊在x軸上，BC邊的高OA在Y軸上．一只電子蟲從A出發(fā)，先沿y軸到達(dá)G點(diǎn)，再沿GC到達(dá)C點(diǎn)，已知電子蟲在Y軸上運(yùn)動(dòng)的速度是在GC上運(yùn)動(dòng)速度的2倍，若電子蟲走完全程的時(shí)間最短，則點(diǎn)G的坐標(biāo)為________．

探索

在圖1至圖3中，已知△ABC的面積為a ．

(1）如圖1，延長△ABC的邊BC到點(diǎn)D，使CD=BC，連結(jié)DA．若△ACD的面積為S_{1，則S1=______（用含a的代數(shù)式表示）；}

(2）如圖2，延長△ABC的邊BC到點(diǎn)D，延長邊CA到點(diǎn)E，使CD=BC，AE=CA，連結(jié)DE．若△DEC的面積為S2，則S2=__________（用含a的代數(shù)式表示）；

(3）在圖2的基礎(chǔ)上延長AB到點(diǎn)F，使BF=AB，連結(jié)FD，FE，得到△DEF（如圖3）．若陰影部分的面積為S3，則S3=__________（用含a的代數(shù)式表示），并運(yùn)用上述（2）的結(jié)論寫出理由．

發(fā)現(xiàn)

像上面那樣，將△ABC各邊均順次延長一倍，連結(jié)所得端點(diǎn)，得到△DEF（如圖3），此時(shí)，我們稱△ABC向外擴(kuò)展了一次．可以發(fā)現(xiàn)，擴(kuò)展一次后得到的△DEF的面積是原來△ABC面積的　　　　 　　 倍．

應(yīng)用

要在一塊足夠大的空地上栽種花卉，工程人員進(jìn)行了如下的圖案設(shè)計(jì)：首先在△ABC的空地上種紅花，然后將△ABC向外擴(kuò)展三次（圖4已給出了前兩次擴(kuò)展的圖案）．在第一次擴(kuò)展區(qū)域內(nèi)種黃花，第二次擴(kuò)展區(qū)域內(nèi)種紫花，第三次擴(kuò)展區(qū)域內(nèi)種藍(lán)花．如果種紅花的區(qū)域（即△ABC）的面積是10平方米，請(qǐng)你運(yùn)用上述結(jié)論求出：

(1）種紫花的區(qū)域的面積；

(2）種藍(lán)花的區(qū)域的面積．

探索

在圖1至圖3中，已知△ABC的面積為a ．

(1）如圖1，延長△ABC的邊BC到點(diǎn)D，使CD=BC，連結(jié)DA．若△ACD的面積為S_{1，則S1=______（用含a的代數(shù)式表示）；}

(2）如圖2，延長△ABC的邊BC到點(diǎn)D，延長邊CA到點(diǎn)E，使CD=BC，AE=CA，連結(jié)DE．若△DEC的面積為S2，則S2=__________（用含a的代數(shù)式表示）；

(3）在圖2的基礎(chǔ)上延長AB到點(diǎn)F，使BF=AB，連結(jié)FD，FE，得到△DEF（如圖3）．若陰影部分的面積為S3，則S3=__________（用含a的代數(shù)式表示），并運(yùn)用上述（2）的結(jié)論寫出理由．

像上面那樣，將△ABC各邊均順次延長一倍，連結(jié)所得端點(diǎn)，得到△DEF（如圖3），此時(shí)，我們稱△ABC向外擴(kuò)展了一次．可以發(fā)現(xiàn)，擴(kuò)展一次后得到的△DEF的面積是原來△ABC面積的　　　　 　　 倍．

要在一塊足夠大的空地上栽種花卉，工程人員進(jìn)行了如下的圖案設(shè)計(jì)：首先在△ABC的空地上種紅花，然后將△ABC向外擴(kuò)展三次（圖4已給出了前兩次擴(kuò)展的圖案）．在第一次擴(kuò)展區(qū)域內(nèi)種黃花，第二次擴(kuò)展區(qū)域內(nèi)種紫花，第三次擴(kuò)展區(qū)域內(nèi)種藍(lán)花．如果種紅花的區(qū)域（即△ABC）的面積是10平方米，請(qǐng)你運(yùn)用上述結(jié)論求出：

(1）種紫花的區(qū)域的面積；

(2）種藍(lán)花的區(qū)域的面積．

如圖所示．某校計(jì)劃將一塊形狀為銳角三角形ABC的空地進(jìn)行生態(tài)環(huán)境改造．已知△ABC的邊BC長120米，高AD長80米．學(xué)校計(jì)劃將它分割成△AHG、△BHE、△GFC和矩形EFGH四部分（如圖）．其中矩形EFGH的一邊EF在邊BC上．其余兩個(gè)頂點(diǎn)H、G分別在邊AB、AC上．現(xiàn)計(jì)劃在△AHG上種草，每平方米投資6元；在△BHE、△FCG上都種花，每平方米投資10元；在矩形EFGH上興建愛心魚池，每平方米投資4元．

（1）當(dāng)FG長為多少米時(shí)，種草的面積與種花的面積相等？

（2）當(dāng)矩形EFGH的邊FG為多少米時(shí)，△ABC空地改造總投資最小，最小值為多少？

如圖所示．某校計(jì)劃將一塊形狀為銳角三角形ABC的空地進(jìn)行生態(tài)環(huán)境改造．已知△ABC的邊BC長120米，高AD長80米．學(xué)校計(jì)劃將它分割成△AHG、△BHE、△GFC和矩形EFGH四部分（如圖）．其中矩形EFGH的一邊EF在邊BC上．其余兩個(gè)頂點(diǎn)H、G分別在邊AB、AC上．現(xiàn)計(jì)劃在△AHG上種草，每平方米投資6元；在△BHE、△FCG上都種花，每平方米投資10元；在矩形EFGH上興建愛心魚池，每平方米投資4元．

（1）當(dāng)FG長為多少米時(shí)，種草的面積與種花的面積相等？
（2）當(dāng)矩形EFGH的邊FG為多少米時(shí)，△ABC空地改造總投資最小，最小值為多少？