【提出問題】

如圖①，在梯形ABCD中，AD//BC，AC、BD交于點E，∠BEC＝n°，若AD＝a，BC＝b，則梯形ABCD的面積最大是多少？

【探究過程】

小明提出：可以從特殊情況開始探究，如圖②，在梯形ABCD中，AD//BC，AC⊥BD，若AD＝3，BC＝7，則梯形ABCD的面積最大是多少？

如圖③，過點D做DE//AC交BC的延長線于點E，那么梯形ABCD的面積就等于△DBE的面積，求梯形ABCD的面積最大值就是求△DBE的面積最大值．如果設(shè)AC＝x，BD＝y(tǒng)，那么S_△DBE＝xy．

以下是幾位同學的對話：

A同學：因為y＝，所以S_△DBE＝x，求這個函數(shù)的最大值即可．

B同學：我們知道x²＋y²＝100，借助完全平方公式可求S_△DBE＝xy的最大值

C同學：△DBE是直角三角形，底BE＝10，只要高最大，S_△DBE就最大，我們先將所有滿足BE＝10的直角△DBE都找出來，然后在其中尋找高最大的△DBE即可．

（1）請選擇A同學或者B同學的方法，完成解題過程．

（2）請幫C同學在圖③中畫出所有滿足條件的點D，并標出使△DBE面積最大的點D₁．（保留作圖痕跡，可適當說明畫圖過程）

【解決問題】

根據(jù)對特殊情況的探究經(jīng)驗，請在圖①中畫出面積最大的梯形ABCD的頂點D₁，并直接寫出梯形ABCD面積的最大值．

 

小明和同桌小聰在課后復習時，對課本“目標與評定”中的一道思考題，進行了認真的探索。
【思考題】如圖，一架2.5米長的梯子AB斜靠在豎直的墻AC上，這時B到墻C的距離為0.7米，如果梯子的頂端沿墻下滑0.4米，那么點B將向外移動多少米？

（1）請你將小明對“思考題”的解答補充完整：
解：設(shè)點B將向外移動x米，即BB₁=x，
則B₁C=x+0.7，A₁C=AC﹣AA₁=
而A₁B₁=2.5，在Rt△A₁B₁C中，由得方程                                   ，
解方程得x₁=         ，x₂=                   ，
∴點B將向外移動         米。
（2）解完“思考題”后，小聰提出了如下兩個問題：
【問題一】在“思考題”中，將“下滑0.4米”改為“下滑0.9米”，那么該題的答案會是0.9米嗎？為什么？
【問題二】在“思考題”中，梯子的頂端從A處沿墻AC下滑的距離與點B向外移動的距離，有可能相等嗎？為什么？
請你解答小聰提出的這兩個問題。

對于二次函數(shù)y=x²-3x+2和一次函數(shù)y=-2x+4，把y=t（x²-3x+2）+（1-t）（-2x+4）稱為這兩個函數(shù)的“再生二次函數(shù)”，其中t是不為零的實數(shù)，其圖象記作拋物線E．
現(xiàn)有點A（2，0）和拋物線E上的點B（-1，n），請完成下列任務(wù)：
【嘗試】
（1）當t=2時，拋物線E的頂點坐標是______；
（2）判斷點A是否在拋物線E上；
（3）求n的值．
【發(fā)現(xiàn)】
通過（2）和（3）的演算可知，對于t取任何不為零的實數(shù)，拋物線E總過定點，這個定點的坐標是______．
【應(yīng)用1】
二次函數(shù)y=-3x²+5x+2是二次函數(shù)y=x²-3x+2和一次函數(shù)y=-2x+4的一個“再生二次函數(shù)”嗎？如果是，求出t的值；如果不是，說明理由．
【應(yīng)用2】
以AB為一邊作矩形ABCD，使得其中一個頂點落在y軸上，若拋物線E經(jīng)過點A、B、C、D中的三點，求出所有符合條件的t的值．

【提出問題】
如圖①，在梯形ABCD中，AD//BC，AC、BD交于點E，∠BEC＝n°，若AD＝a，BC＝b，則梯形ABCD的面積最大是多少？
【探究過程】
小明提出：可以從特殊情況開始探究，如圖②，在梯形ABCD中，AD//BC，AC⊥BD，若AD＝3，BC＝7，則梯形ABCD的面積最大是多少？
如圖③，過點D做DE//AC交BC的延長線于點E，那么梯形ABCD的面積就等于△DBE的面積，求梯形ABCD的面積最大值就是求△DBE的面積最大值．如果設(shè)AC＝x，BD＝y(tǒng)，那么S_△DBE＝xy．
以下是幾位同學的對話：
A同學：因為y＝，所以S_△DBE＝x，求這個函數(shù)的最大值即可．
B同學：我們知道x²＋y²＝100，借助完全平方公式可求S_△DBE＝xy的最大值
C同學：△DBE是直角三角形，底BE＝10，只要高最大，S_△DBE就最大，我們先將所有滿足BE＝10的直角△DBE都找出來，然后在其中尋找高最大的△DBE即可．

（1）請選擇A同學或者B同學的方法，完成解題過程．
（2）請幫C同學在圖③中畫出所有滿足條件的點D，并標出使△DBE面積最大的點D₁．（保留作圖痕跡，可適當說明畫圖過程）
【解決問題】
根據(jù)對特殊情況的探究經(jīng)驗，請在圖①中畫出面積最大的梯形ABCD的頂點D₁，并直接寫出梯形ABCD面積的最大值．

（2013年四川瀘州2分）設(shè)x₁、x₂是方程x²+3x﹣3=0的兩個實數(shù)根，則的值為【　　】

A．5　　　　　B．﹣5 　　　　　C．1　　　　　D．﹣1

 

二、函數(shù)的定義域、值域及單調(diào)性

【例2】 (1)已知f(x)的定義域為［1，2)，求函數(shù)f(x²)的定義域;

(2)已知f(x+1)的定義域為［0，1］，求函數(shù)f(x)的定義域.

解:(1)由f(x)的定義域為［1，2)，

可知f(x²)中自變量x²也應(yīng)在［1，2)中，

故1≤x²<2,∴-<x≤-1或1≤x<，

即f(x²)的定義域為(-，-1］∪［1, ).

(2)已知f(x)的定義域為［0，1］，即0≤x≤1，

則1≤x+1≤2,∴f(x)的定義域為［1，2］.

【附加題】已知二次函數(shù)y=x²+2（m+1）x-m+1．
（1）隨著m的變化，該二次函數(shù)圖象的頂點P是否都在某條拋物線上？如果是，請求出該拋物線的函數(shù)表達式；如果不是，請說明理由．
（2）如果直線y=x+1經(jīng)過二次函數(shù)y=x²+2（m+1）x-m+1圖象的頂點P，求此時m的值．

【例3】 設(shè)函數(shù)f(x)= -ax,其中a>0,求a的取值范圍,使函數(shù)f(x)在［0，+∞)上為單調(diào)函數(shù).

解:任取x₁、x₂∈［0,+∞)且x₁<x₂,則

f(x₁)-f(x₂)= --a(x₁-x₂)

=-a(x₁-x₂)

=(x₁-x₂)(-a).

(1)當a≥1時,∵<1,

又∵x₁-x₂<0,

∴f(x₁)-f(x₂)>0,即f(x₁)>f(x₂).

∴a≥1時，函數(shù)f(x)在區(qū)間［0，+∞)上為減函數(shù).

(2)當0<a<1時，在區(qū)間［0，+∞)上存在x₁=0,x₂=,滿足f(x₁)=f(x₂)=1,

∴0<a<1時，f(x)在［０,+∞)上不是單調(diào)函數(shù).

評注: ①判斷單調(diào)性常規(guī)思路為定義法;②變形過程中<1利用了>|x₁|≥x₁, >x₂這個結(jié)論;③從a的范圍看還需討論0<a<1時f(x)的單調(diào)性，這也是數(shù)學嚴謹性的體現(xiàn).

在前面的學習中，我們通過對同一面積的不同表達和比較，根據(jù)圖1和圖2發(fā)現(xiàn)并驗證了平方差公式和完全平方公式．
這種利用面積關(guān)系解決問題的方法，使抽象的數(shù)量關(guān)系因幾何直觀而形象化．

【研究速算】
提出問題：47×43，56×54，79×71，…是一些十位數(shù)字相同，且個位數(shù)字之和是10的兩個兩位數(shù)相乘的算式，是否可以找到一種速算方法？
幾何建模：
用矩形的面積表示兩個正數(shù)的乘積，以47×43為例：
（1）畫長為47，寬為43的矩形，如圖3，將這個47×43的矩形從右邊切下長40，寬3的一條，拼接到原矩形上面．
（2）分析：原矩形面積可以有兩種不同的表達方式：47×43的矩形面積或（40+7+3）×40的矩形與右上角3×7的矩形面積之和，即47×43=（40+10）×40+3×7=5×4×100+3×7=2021．
用文字表述47×43的速算方法是：十位數(shù)字4加1的和與4相乘，再乘以100，加上個位數(shù)字3與7的積，構(gòu)成運算結(jié)果．
歸納提煉：
兩個十位數(shù)字相同，并且個位數(shù)字之和是10的兩位數(shù)相乘的速算方法是（用文字表述）______．
【研究方程】
提出問題：怎樣圖解一元二次方程x²+2x-35=0（x＞0）？
幾何建模：
（1）變形：x（x+2）=35．
（2）畫四個長為x+2，寬為x的矩形，構(gòu)造圖4
（3）分析：圖中的大正方形面積可以有兩種不同的表達方式，（x+x+2）²或四個長x+2，寬x的矩形面積之和，加上中間邊長為2的小正方形面積．
即（x+x+2）²=4x（x+2）+2²
∵x（x+2）=35
∴（x+x+2）²=4×35+2²
∴（2x+2）²=144
∵x＞0
∴x=5
歸納提煉：求關(guān)于x的一元二次方程x（x+b）=c（x＞0，b＞0，c＞0）的解．
要求參照上述研究方法，畫出示意圖，并寫出幾何建模步驟（用鋼筆或圓珠筆畫圖，并注明相關(guān)線段的長）
【研究不等關(guān)系】
提出問題：怎樣運用矩形面積表示（y+3）（y+2）與2y+5的大小關(guān)系（其中y＞0）？
幾何建模：
（1）畫長y+3，寬y+2的矩形，按圖5方式分割
（2）變形：2y+5=（y+3）+（y+2）
（3）分析：圖5中大矩形的面積可以表示為（y+3）（y+2）；陰影部分面積可以表示為（y+3）×1，畫點部分部分的面積可表示為y+2，由圖形的部分與整體的關(guān)系可知（y+3）（y+2）＞（y+3）+（y+2），即（y+3）（y+2）＞2y+5
歸納提煉：
當a＞2，b＞2時，表示ab與a+b的大小關(guān)系．
根據(jù)題意，設(shè)a=2+m，b=2+n（m＞0，n＞0），要求參照上述研究方法，畫出示意圖，并寫出幾何建模步驟（用鋼筆或圓珠筆畫圖并注明相關(guān)線段的長）

【附加題】已知二次函數(shù)y=x²+2（m+1）x-m+1．
（1）隨著m的變化，該二次函數(shù)圖象的頂點P是否都在某條拋物線上？如果是，請求出該拋物線的函數(shù)表達式；如果不是，請說明理由．
（2）如果直線y=x+1經(jīng)過二次函數(shù)y=x²+2（m+1）x-m+1圖象的頂點P，求此時m的值．

二、函數(shù)的定義域、值域及單調(diào)性

【例2】 (1)已知f(x)的定義域為［1，2)，求函數(shù)f(x²)的定義域;

(2)已知f(x+1)的定義域為［0，1］，求函數(shù)f(x)的定義域.

解:(1)由f(x)的定義域為［1，2)，

可知f(x²)中自變量x²也應(yīng)在［1，2)中，

故1≤x²<2,∴-<x≤-1或1≤x<，

即f(x²)的定義域為(-，-1］∪［1, ).

(2)已知f(x)的定義域為［0，1］，即0≤x≤1，

則1≤x+1≤2,∴f(x)的定義域為［1，2］.

【例3】 設(shè)函數(shù)f(x)= -ax,其中a>0,求a的取值范圍,使函數(shù)f(x)在［0，+∞)上為單調(diào)函數(shù).

解:任取x₁、x₂∈［0,+∞)且x₁<x₂,則

f(x₁)-f(x₂)= --a(x₁-x₂)

=-a(x₁-x₂)

=(x₁-x₂)(-a).

(1)當a≥1時,∵<1,

又∵x₁-x₂<0,

∴f(x₁)-f(x₂)>0,即f(x₁)>f(x₂).

∴a≥1時，函數(shù)f(x)在區(qū)間［0，+∞)上為減函數(shù).

(2)當0<a<1時，在區(qū)間［0，+∞)上存在x₁=0,x₂=,滿足f(x₁)=f(x₂)=1,

∴0<a<1時，f(x)在［０,+∞)上不是單調(diào)函數(shù).

評注: ①判斷單調(diào)性常規(guī)思路為定義法;②變形過程中<1利用了>|x₁|≥x₁, >x₂這個結(jié)論;③從a的范圍看還需討論0<a<1時f(x)的單調(diào)性，這也是數(shù)學嚴謹性的體現(xiàn).

小明和同桌小聰在課后復習時，對課本“目標與評定”中的一道思考題，進行了認真的探索．
【思考題】如圖，一架2.5米長的梯子AB斜靠在豎直的墻AC上，這時B到墻C的距離為0.7米，如果梯子的頂端沿墻下滑0.4米，那么點B將向外移動多少米？
（1）請你將小明對“思考題”的解答補充完整：
解：設(shè)點B將向外移動x米，即BB₁=x，
則B₁C=x+0.7，A₁C=AC-AA₁=-0.4=2
而A₁B₁=2.5，在Rt△A₁B₁C中，由+=得方程______，
解方程得x₁=______，x₂=______，
∴點B將向外移動______米．
（2）解完“思考題”后，小聰提出了如下兩個問題：
【問題一】在“思考題”中，將“下滑0.4米”改為“下滑0.9米”，那么該題的答案會是0.9米嗎？為什么？
【問題二】在“思考題”中，梯子的頂端從A處沿墻AC下滑的距離與點B向外移動的距離，有可能相等嗎？為什么？
請你解答小聰提出的這兩個問題．

【例3】 設(shè)函數(shù)f(x)= -ax,其中a>0,求a的取值范圍,使函數(shù)f(x)在［0，+∞)上為單調(diào)函數(shù).

解:任取x₁、x₂∈［0,+∞)且x₁<x₂,則

f(x₁)-f(x₂)= --a(x₁-x₂)

=-a(x₁-x₂)

=(x₁-x₂)(-a).

(1)當a≥1時,∵<1,

又∵x₁-x₂<0,

∴f(x₁)-f(x₂)>0,即f(x₁)>f(x₂).

∴a≥1時，函數(shù)f(x)在區(qū)間［0，+∞)上為減函數(shù).

(2)當0<a<1時，在區(qū)間［0，+∞)上存在x₁=0,x₂=,滿足f(x₁)=f(x₂)=1,

∴0<a<1時，f(x)在［０,+∞)上不是單調(diào)函數(shù).

評注: ①判斷單調(diào)性常規(guī)思路為定義法;②變形過程中<1利用了>|x₁|≥x₁, >x₂這個結(jié)論;③從a的范圍看還需討論0<a<1時f(x)的單調(diào)性，這也是數(shù)學嚴謹性的體現(xiàn).