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請考生在第22、23、24題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分。

(22)(本小題滿分10分)幾何證明選講

    等腰三角形中，，為中點，于，為中點。

求證：。

(23)(本小題滿分10分)坐標(biāo)系與參數(shù)方程

    求直線            被曲線                截得的弦長。

(24)(本小題滿分1O分)不等式選講

    已知不等式≥的解集是R

    (I)求實數(shù)的取值范圍：

    (Ⅱ)在(I)的條件下，當(dāng)實數(shù)取得最大值時，試判斷是否成立并證明你的結(jié)論。

2009年高三質(zhì)量檢測（一）

數(shù)學(xué)（理）

選擇題：ABAAD  CABBD  AC

            15.            16.

17：解：（Ⅰ）擲出點數(shù)可能是：1，2，3，4。則分別得：-2，-1，0，1.

于是的所有取值分別為：0，1，4.因此的所有取值為：0，1，2，4，5，8. -----2分

當(dāng)時，可能取得最大值8，

此時，

當(dāng)時，可能取得最小值0，

此時，                       -----6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，的所有取值為：0，1，2，4，5，8.

當(dāng)時，的所有取值為（2，3）、（4，3）、（3，2）、（3，4）

即

當(dāng)時，的所有取值為（2，2）、（4，4）、（4，2）、（2，4）

即

當(dāng)時，的所有取值為（1，3）、（3，1）

即

當(dāng)時，的所有取值為（2，1）、（1，4）、（1，2）、（4，1）

即

所以的發(fā)布列為：

0

1

2

4

5

8

--------------------------------10分

即的期望          ----------------12分

18. 解：⑴ 由題意知，因此，從而．-------1分

又對求導(dǎo)得．  --------------------------------2分

由題意，因此，解得． ---------------------3分

⑵ 由（I）知（），令，解得．--5分

當(dāng)時，，此時為增函數(shù)；

當(dāng)時，，此時為減函數(shù)．--------------------------------7分

因此的單調(diào)遞增區(qū)間為，而的單調(diào)遞減區(qū)間為．--------8分

⑶ 由⑵知，在處取得極大值，此極大值也是最大值，要使（）恒成立，只需．------------------------10分

即，從而，

解得．所以的取值范圍為．-------12分

19. 解（1）連接B₁C，交BC₁于點O，則O為B₁C的中點，

        ∵D為AC中點    ∴OD∥B₁A

        又B₁A平面BDC₁，OD平面BDC₁

         ∴B₁A∥平面BDC₁                          -----6分

  （2）∵AA₁⊥面ABC，BC⊥AC，AA₁∥CC₁

       ∴CC₁⊥面ABC

      則BC⊥平面AC₁，CC₁⊥AC

      如圖以C為坐標(biāo)原點，CA所在直線為X軸，

CB所在直線為Y軸，所在直線為軸建立空間

直角坐標(biāo)系 則C₁(0,0,3) B(0,2,0) D(1,0,0) C(0,0,0)

      ∴

      設(shè)平面的法向量為

      則

      又平面BDC的法向量為

      ∴二面角C₁―BD―C的余弦值：cos     -----12分

20. 解（1）依題意可設(shè)橢圓方程為  ，則右焦點F（）由題設(shè)

   解得   故所求橢圓的方程為---4分

（2）設(shè)P為弦MN的中點，由  得

由于直線與橢圓有兩個交點，即       ①---6分

   從而

    又，則

    即      ②---8分

把②代入①得  解得       由②得   解得

  .故所求m的取范圍是（）---12分

21. 【解】⑴依題意，得P_n(a_n，0)、Q_n(a_n，2n)，y¢＝2x，a_n＞0

∴過點Q_n (a_n，2n)的切線方程為y－2n＝2a_n(x－a_n).????????????????????????????????? （2分）

當(dāng)n＝1時，切線過P(1，0)得a₁＝2???????????????????????????????????????????????????????? （3分）

當(dāng)n≥2時，切線y－2n＝2a_n(x－a_n)過P_n－1(a_n－1，0)得

   0－2n＝2a_n(a_n－1－a_n)，即a_n＝2a_n－1

∴數(shù)列{a_n}是以a₁＝2為首項，公比q＝2的等比數(shù)列

故a_n＝2ⁿ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? （6分）

⑵b_n＝＝＝－????????????????????????????????? （8分）

∴T_n＝(1－)＋(－)＋…＋(－)

    ＝1－?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? （12分）

22. Ⅰ解：建立如圖坐標(biāo)系：------------------------（2分）

由已知可設(shè)：C（1，0），A（0，m），則：B（-1，0）

設(shè)E（x，y），

得：  ∴E（，）-------（6分）

則=（+1，），      ------------------------------------（6分）

=（，-m）    -----------------------------------（8分）

?=（+1）?+?（-m）=0

∴BE⊥AF----------------------------------------------------------------（10分）

23.解：直線----（3分）

曲線即圓心為(1，1)半徑為3的圓  ----（6分）

則圓心（1，1）到直線----（9分）

設(shè)直線被曲線截得的弦長為t，----（10分）

24. 解：（Ⅰ）由絕對值不等式性質(zhì)知：

對恒成立

故的解集為，只須既可

的取值范圍是             -----------------（5分）

（Ⅱ）由（1）知實數(shù)的最大值為3

當(dāng)時，不等式成立

證明如下：利用分析法

     要使成立

     只須

等價于  

等價于  

等價于   ，而顯然成立，以上每一步均可逆推，故所證明不等式成立。-----------------（10分）