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西安中學(xué)

師大附中

高2009屆第二次模擬考試

高新一中

長(zhǎng)安一中

 數(shù)學(xué)試題（理科）

命題人：西安中學(xué)   薛黨鵬

審題人：長(zhǎng)安一中   岳建良

 

 

 

 

 

本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.共150分,考試時(shí)間120分鐘.

　                    第I卷 (選擇題，共60分)

一、選擇題：本大題共12小題  每小題5分，共60分  在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的 

1．集合，，則=

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A.     B.　

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C.　　 　D.

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2. 函數(shù)y＝8sin4xcos4x的最小正周期是

A.2π            B.4π                C.                  D.

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3． ＝

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A. i           B.－i               C.                  D.－

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4. 下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是

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A.     B.    

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  C.     D.

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5. 若，則標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體在區(qū)間（―3，3）內(nèi)取值的概率為

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       A．0.9987         B．0.9974               C．0.9944                D．0.8413

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6. 已知是兩條不同直線，是三個(gè)不同平面，下列命題中正確的是

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A．          B． 

試題詳情

C．          D．

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7.  

試題詳情

A.            B.2         C.              D.

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8.若雙曲線的離心率為2,則雙曲線的離心率為

試題詳情

A．        B．           C．2            D．

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9. 設(shè)，則下列不等式中成立的是

試題詳情

         A．        B． 

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C．    D．

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10．設(shè)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則的面積與的面積之比為

試題詳情

A．           B．        C．            D．

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11. 從圓外一點(diǎn)向這個(gè)圓作兩條切線，則兩切線夾角的余弦值為

試題詳情

A．          B．       C．             D．

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12. 已知為定義在上的可導(dǎo)函數(shù),且對(duì)于恒成立,則

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A. ,    

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 B. ,

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C. ,    

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        D.,

第II卷（共90分）

試題詳情

二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分  把答案填在題中橫線上 

13.已知正數(shù)、滿足，則的最小值為_(kāi)_______.

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14. 表面積為 的正八面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則此球的體積為        ．

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15. 二項(xiàng)式的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_______.(結(jié)果用數(shù)值作答).

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16. 如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,則稱此函數(shù)為自反函數(shù). 使得函數(shù)為自反函數(shù)的一組實(shí)數(shù)的取值為_(kāi)_______

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    三、解答題：本大題共6小題，共74分  解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟

17．（本題滿分12分）已知函數(shù).

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（Ⅰ）在所給的坐標(biāo)紙上作出函數(shù)的圖象(不要求寫(xiě)出作圖過(guò)程).

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（Ⅱ）令，.求函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

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18. (本題滿分12分) 按照新課程的要求, 高中學(xué)生在每學(xué)期都要至少參加一次社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)(以下簡(jiǎn)稱活動(dòng)). 該校高2010級(jí)一班50名學(xué)生在上學(xué)期參加活動(dòng)的次數(shù)統(tǒng)計(jì)如圖所示．

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（I）求該班學(xué)生參加活動(dòng)的人均次數(shù)；

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（II）從該班中任意選兩名學(xué)生，求他們參加活動(dòng)次數(shù)恰好相等的概率．

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（III）從該班中任選兩名學(xué)生，用表示這兩人參加活動(dòng)次數(shù)之差的絕對(duì)值，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望．

（要求：答案用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示）

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19．（本題滿分12分）如圖所示，在矩形中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，將沿折起到的位置，使二面角是直二面角.

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（Ⅰ）證明：；

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（Ⅱ）求二面角的正切值.

 

 

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21. （本題滿分12分）已知橢圓Γ的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)B恰好是拋物線y=x2的焦點(diǎn)，離心率等于.直線與橢圓Γ交于兩點(diǎn).

（Ⅰ）求橢圓Γ的方程；

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(Ⅱ) 橢圓Γ的右焦點(diǎn)是否可以為的垂心？若可以,求出直線的方程；若不可以,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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21.（本題滿分12分）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?sub>，記函數(shù)的最大值為.

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（Ⅰ）求的解析式;

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（Ⅱ）已知,試求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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22. （本題滿分14分）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足對(duì)一切,有，其中.

試題詳情

(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;

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(Ⅱ) 求證: 當(dāng)時(shí), .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

西安中學(xué)

師大附中

高2009屆第一次模擬考試

高新一中

長(zhǎng)安一中

數(shù)學(xué)答題紙（理科）

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

試題詳情

二、填空題:(本大題共4小題，每小題4分，共16分)

13.          ,   14.          .  15.          .   16.          .

試題詳情

三、解答題:(本大題共6小題，共74分)

17.（Ⅰ）

試題詳情

（Ⅱ）

 

 

 

 

 

試題詳情

18. （Ⅰ）

 

 

 

 

 

 

 

 

   （Ⅱ）

 

 

 

 

 

試題詳情

19. （Ⅰ）

 

試題詳情

 

（Ⅱ）

  

 

 

 

 

 

 

試題詳情

20. （Ⅰ）

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    （Ⅱ）

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

試題詳情

21. （I）

 

 

 

 

 

 

 

(II)

 

 

 

 

 

 

 

 

試題詳情

22. （Ⅰ）

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

（Ⅱ）

 

 

 

 

 

 

西安中學(xué)

師大附中

高2009屆第二次模擬考試

高新一中

長(zhǎng)安一中

試題詳情

一.選擇題

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

C

C

A

A

B

D

A

D

D

A

B

A

二.填空題

   13. .;       14. ;      15. 15;         16. ,可以填寫(xiě)任意實(shí)數(shù)

三、解答題

17．（Ⅰ）

(Ⅱ)

由得,從而,即 .所以,函數(shù)與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.           12分

18.由圖可知，參加活動(dòng)1次、2次和3次的學(xué)生人數(shù)分別為5、25和20．

（I）該班學(xué)生參加活動(dòng)的人均次數(shù)為=．     3分

（II）從該班中任選兩名學(xué)生，他們參加活動(dòng)次數(shù)恰好相等的概率為．                                               6分

（III）從該班中任選兩名學(xué)生，記“這兩人中一人參加1次活動(dòng)，另一人參加2次活動(dòng)”為事件，“這兩人中一人參加2次活動(dòng)，另一人參加3次活動(dòng)”為事件，“這兩人中一人參加1次活動(dòng)，另一人參加3次活動(dòng)”為事件．易知

；                     8分

.                                     10分

的分布列：

0

1

2

的數(shù)學(xué)期望：．                            12分

19．（Ⅰ）∵AD=2AB=2，E是AD的中點(diǎn)，

∴△BAE，△CDE是等腰直角三角形，

易知，∠BEC=90°，即BE⊥EC    

又∵平面D′EC⊥平面BEC，面D′EC∩面BEC=EC，

∴BE⊥面D′EC，又CD′面D′EC，∴BE⊥CD′ 6分

（Ⅱ）法一：設(shè)M是線段EC的中點(diǎn)，過(guò)M作MF⊥BC

垂足為F，連接D′M，D′F，則D′M⊥EC

∵平面D′EC⊥平面BEC，∴D′M⊥平面EBC，

∴MF是D′F在平面BEC上的射影，

由三垂線定理得：D′F⊥BC，∴∠D′FM是二面D′―BC―E的平面角.

在Rt△D′MF中，�！�，

即二面角D′―BC―E的正切值為.                         12分

法二：如圖，以EB，EC為x軸，y軸，過(guò)E垂直于平面BEC的射線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則

設(shè)平面BEC的法向量為；平面D′BC的法向量為

由.取 

∴。 

∴二面角D′―BC―E的的正切值為.

20. (Ⅰ）設(shè)C方程為，則b = 1.

∴橢圓C的方程為  …………………………………………………6分

（Ⅱ）假設(shè)存在直線,使得點(diǎn)是的垂心.易知直線的斜率為，從而直線的斜率為1.設(shè)直線的方程為，代如橢圓的方程，并整理可得.設(shè)，則，.于是

解之得或.

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)即為直線與橢圓的交點(diǎn)，不合題意.當(dāng)時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)知和橢圓相交，符合題意.  所以，當(dāng)且僅當(dāng)直線的方程為時(shí), 點(diǎn)是的垂心.        12分

21. （Ⅰ）注意到當(dāng)時(shí), 直線是拋物線的對(duì)稱軸，分以下幾種情況討論.

(1) 當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)y=, 的圖象是開(kāi)口向上的拋物線的一段，

由<0知在上單調(diào)遞增，∴.

(2)當(dāng)a=0時(shí)，, ,∴.      3分

(3)當(dāng)a<0時(shí),函數(shù)y=, 的圖象是開(kāi)口向下的拋物線的一段，

若，即則                4分

若，即,則       5分

若，即,則.              6分

綜上有                                7分

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，所以， g(a)在上單調(diào)遞增，于是由g(a)的不減性知等價(jià)于或

解之得或.所以，的取值范圍為.               12分

22.(Ⅰ)對(duì)一切有，即  ,      ()                            4分

由及兩式相減,得:

 

       

       ∴是等差數(shù)列,且, .                                    8分

說(shuō)明:本小題也可以運(yùn)用先猜后證(數(shù)學(xué)歸納法)的方法求解.給分時(shí),猜想正確得3分,證明給5分.

(Ⅱ) 由,知,因此,只需證明.                                              10分

當(dāng)或時(shí),結(jié)論顯然成立.當(dāng)時(shí),

   

所以,原不等式成立.                                                          14分

 

 


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