海淀區(qū)高三年級第二學期期末練習
數(shù) 學（理科） 2008.05
本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，第I卷1至2頁，第II卷3至9頁，共150分考試時。120分鐘.考試結(jié)束。將本試卷和答題卡一并交回。
第I卷（選擇題 共40分）
注意事項 ：
1．答卷前將學校、班級、姓名填寫清楚。
2．選擇題的每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應的題目的答案標號涂黑.其它小題用鋼筆或圓珠筆將答案直接寫在試卷上。
一、選擇題：本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題列出的四個選項中,選出符合題目要求的一項.
（1）直線學理）.files\image002.gif)
的傾斜角是
（ ）
（A） 學理）.files\image004.gif)
（B） 學理）.files\image006.gif)
（C） 學理）.files\image008.gif)
（D）學理）.files\image010.gif)
(A)20 (B)40 (C) 60 (D)80
（2）某中學有高一、高二、高三學生共1600名，其中高三學生400名.如果用分層抽樣的方法從這1600人中抽取一個160人的樣本，那么應當從高三學生中抽取的人數(shù)是 （ ）
（3）函數(shù)學理）.files\image012.gif)
的反函數(shù)是
（
）
（A）學理）.files\image014.gif)
（B）學理）.files\image016.gif)
（C）學理）.files\image018.gif)
（D）學理）.files\image020.gif)
學理）.files\image022.gif)
學理）.files\image024.gif)
（4）函數(shù)學理）.files\image026.gif)
與學理）.files\image028.gif)
在同一直角坐標系下的圖象是
（ ）
學理）.files\image030.gif)
學理）.files\image032.gif)
（A） (B) (C) (D)
（5）設(shè)學理）.files\image034.gif)
是三條不同的直線，學理）.files\image036.gif)
是三個不同的平面，則下列命題中的真命題是 （ ）
（A）若學理）.files\image038.gif)
與l所成的角相等，則學理）.files\image040.gif)
（B）若g與a，b所成的角相等，則a//b
（C）若與a所成的角相等，則
（D）若a//b，學理）.files\image042.gif)
Ì a, 則學理）.files\image044.gif)
(6) 若an=學理）.files\image046.gif)
（學理）.files\image048.gif)
）, 則學理）.files\image050.gif)
（ ）
（A）學理）.files\image052.gif)
（B）學理）.files\image054.gif)
（C）學理）.files\image056.gif)
（D）學理）.files\image058.gif)
（7）已知集合A滿足條件：若學理）.files\image060.gif)
，則學理）.files\image062.gif)
，那么集合學理）.files\image064.gif)
中所有元素的乘積為（ ）
(A) 學理）.files\image066.gif)
(B)
學理）.files\image068.gif)
(C) 學理）.files\image070.gif)
(D) 學理）.files\image072.gif)
（8）雙曲線學理）.files\image074.gif)
的左、右焦點分別為學理）.files\image076.gif)
，點學理）.files\image078.gif)
（）在其右支上，且滿足學理）.files\image080.gif)
，學理）.files\image082.gif)
，則學理）.files\image084.gif)
的值是
（ ）
（A）學理）.files\image086.gif)
（B）學理）.files\image088.gif)
（C）學理）.files\image090.gif)
（D）學理）.files\image092.gif)
海淀區(qū)高三年級第二學期期末練習
數(shù) 學（理科） 2008.05
第II卷（共110分）
注意事項 ：
1．用鋼筆或圓珠筆將答案直接寫在試卷上。
2．答卷前將密封線內(nèi)的項目填寫清楚。
題號
一
二
三
總分
（15）
（16）
（17）
（18）
（19）
（20）
分數(shù)
二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分.把答案填在題中橫線上.
（9）已知映射學理）.files\image094.gif)
，集合A中元素x在對應法則f作用下的象為學理）.files\image096.gif)
，那么A中元素學理）.files\image098.gif)
的象是
.
（10）集合學理）.files\image100.gif)
,B={x| |x-2|<3},學理）.files\image102.gif)
=
.
（11）在等差數(shù)列學理）.files\image104.gif)
中，若學理）.files\image106.gif)
，則學理）.files\image108.gif)
= .
（12）設(shè)圓學理）.files\image110.gif)
關(guān)于直線學理）.files\image112.gif)
對稱的圓為C,則圓C的圓心坐標為
;再把圓C沿向量
a=(1,2)平移得到圓D,則圓D的方程為
.
（13）在棱長為學理）.files\image114.gif)
的正方體學理）.files\image116.gif)
中， 學理）.files\image118.gif)
分別為棱學理）.files\image120.gif)
和學理）.files\image122.gif)
的中點，則線段學理）.files\image124.gif)
被正方體的內(nèi)切球球面截在球內(nèi)的線段長為_______________.學理）.files\image126.gif)
學理）.files\image127.gif)
（14）中國象棋中規(guī)定：馬每走一步只能按日字格（也可以是橫日“ ”）
的對角線走.例如馬從方格中心點O走一步，會有8種走法.
則從圖中點A走到點B，最少需__________步，按最少的步數(shù)走，共有__________種走法.
(15)（本小題共12分）
三、解答題: 本大題共6小題,共80分.解答應寫出文字說明, 演算步驟或證明過程.
設(shè)函數(shù)學理）.files\image129.gif)
學理）.files\image131.gif)
,其中向量學理）.files\image133.gif)
, 學理）.files\image135.gif)
,學理）.files\image137.gif)
（I）求學理）.files\image139.gif)
的值及函數(shù)學理）.files\image141.gif)
的最大值；
（II）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.
學理）.files\image144.gif)
（16）（本小題共14分）
如圖，正方體ABCD-A1B
(Ⅰ) 求證：PD⊥AD1；
(Ⅱ) 當A1P=學理）.files\image146.gif)
A1B1時，求CP與平面D1DCC1所成角的正弦值；
(Ⅲ) 當A1P=學理）.files\image148.gif)
A1B1時，求點C到平面D1DP的距離.
（17）（本小題共13分）
某單位為普及奧運知識，根據(jù)問題的難易程度舉辦A，B兩種形式的知識競猜活動. A種競猜活動規(guī)定：參賽者回答6個問題后，統(tǒng)計結(jié)果，答對4個，可獲福娃一個，答對5個或6個，可獲其它獎品；B種競猜活動規(guī)定：參賽者依次回答問題，答對一個就結(jié)束競猜且最多可回答6個問題，答對一個問題者可獲福娃一個. 假定參賽者答對每個題的概率均為學理）.files\image150.gif)
.
（I） 求某人參加A種競猜活動只獲得一個福娃獎品的概率；
（II） 設(shè)某人參加B種競猜活動，結(jié)束時答題數(shù)為學理）.files\image152.gif)
，求E.
（18）（本小題共13分）
如圖，矩形ABCD中，AB=學理）.files\image154.gif)
，BC=學理）.files\image156.gif)
，橢圓M的中心和準線分別是已知矩形的中心和一組對邊所在直線，矩形的另一組對邊間的距離為橢圓的短軸長，橢圓M的離心率大于0.7.
學理）.files\image158.gif)
（I）建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼�，求橢圓M的方程;
（II）過橢圓M的中心作直線l與橢圓交于學理）.files\image160.gif)
兩點，設(shè)橢圓的右焦點為學理）.files\image162.gif)
，當學理）.files\image164.gif)
時，求學理）.files\image166.gif)
的面積.
（19）（本小題共14分）
已知：函數(shù)學理）.files\image168.gif)
（學理）.files\image170.gif)
）.
（I）若函數(shù)學理）.files\image172.gif)
的圖象在點P（1，學理）.files\image174.gif)
）處的切線的傾斜角為學理）.files\image176.gif)
，求a；
（II）設(shè)的導函數(shù)是學理）.files\image179.gif)
,在（I）的條件下.若學理）.files\image181.gif)
，求學理）.files\image183.gif)
的最小值；
（Ⅲ）若存在學理）.files\image185.gif)
，使學理）.files\image187.gif)
，求a的取值范圍.
（20）（本小題共14分）
已知函數(shù)學理）.files\image189.gif)
，滿足：
①對任意學理）.files\image191.gif)
，都有學理）.files\image193.gif)
；
②對任意學理）.files\image195.gif)
都有學理）.files\image197.gif)
.
（I）試證明：為學理）.files\image200.gif)
上的單調(diào)增函數(shù)；
（II）求學理）.files\image202.gif)
；
（III）令學理）.files\image204.gif)
，試證明：.學理）.files\image206.gif)
海淀區(qū)高三年級第二學期期末練習
數(shù)學（理科）
一、選擇題（本大題共8小題,每小題5分,共40分.）
題號
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
答案
D
B
A
C
D
C
B
C
二、填空題（本大題共6小題，每小題5分.有兩空的小題，第一空3分，第二空2分，共30分）
（9） 學理）.files\image066.gif)
（10） 學理）.files\image209.gif)
或學理）.files\image211.gif)
（11）
學理）.files\image213.gif)
（12） 學理）.files\image215.gif)
, 學理）.files\image217.gif)
（13）學理）.files\image219.gif)
（14）4，8
三、解答題（本大題共6小題,共80分.）
(15) （共12 分）
解：（I）學理）.files\image221.gif)
學理）.files\image133.gif)
，學理）.files\image135.gif)
，
學理）.files\image223.gif)
學理）.files\image129.gif)
學理）.files\image131.gif)
=學理）.files\image225.gif)
?學理）.files\image227.gif)
學理）.files\image229.gif)
2分
學理）.files\image231.gif)
4分
學理）.files\image232.gif)
學理）.files\image139.gif)
= 學理）.files\image234.gif)
. 5分
又學理）.files\image236.gif)
學理）.files\image238.gif)
學理）.files\image240.gif)
6分
函數(shù)學理）.files\image141.gif)
的最大值為學理）.files\image242.gif)
.
7分
當且僅當學理）.files\image244.gif)
（學理）.files\image246.gif)
Z）時，函數(shù)取得最大值為.
（II）由學理）.files\image248.gif)
（Z），
9分
得學理）.files\image250.gif)
（Z）.
11分
函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[學理）.files\image252.gif)
](Z). 12分
(16) （共14分）
解法一：（I）證明：連結(jié)A1D,在正方體AC1中, ∵A1B1^平面A1ADD1,
\ A1D是PD在平面A1ADD1 內(nèi)的射影. 2分
在正方形A1ADD1中， A1D^ AD1, \ PD⊥AD1. 4分
解(II) 取學理）.files\image255.gif)
中點學理）.files\image257.gif)
，連結(jié)學理）.files\image259.gif)
，學理）.files\image261.gif)
，則//學理）.files\image263.gif)
.
學理）.files\image266.gif)
平面學理）.files\image268.gif)
，∴學理）.files\image270.gif)
平面.
∴為學理）.files\image272.gif)
在平面內(nèi)的射影.
則學理）.files\image274.gif)
為CP與平面D1DCC1所成的角.
7分
在學理）.files\image276.gif)
中，學理）.files\image278.gif)
學理）.files\image280.jpg)
∴與平面D1DCC1所成的角的正弦值為學理）.files\image283.gif)
. 9分
（III）在正方體AC1中，學理）.files\image285.gif)
∥學理）.files\image287.gif)
.
學理）.files\image289.gif)
平面學理）.files\image291.gif)
內(nèi)，
∴∥平面.
∴點學理）.files\image294.gif)
到平面的距離與點C1到平面的距離相等.
又平面學理）.files\image299.gif)
，學理）.files\image301.gif)
面學理）.files\image303.gif)
，
∴平面平面.
又平面學理）.files\image307.gif)
平面學理）.files\image309.gif)
，
過C1作C1H學理）.files\image311.gif)
于H，則C1H平面.
∴C1學理）.files\image314.gif)
的長為點C1到平面的距離.
12分
連結(jié)C1學理）.files\image317.gif)
，并在學理）.files\image319.gif)
上取點學理）.files\image321.gif)
,使學理）.files\image323.gif)
//學理）.files\image325.gif)
.
在學理）.files\image327.gif)
中，學理）.files\image329.gif)
，得學理）.files\image331.gif)
.
∴點到平面的距離為學理）.files\image334.gif)
.
14分
解法二：如圖，以D為坐標原點，建立空間直角坐標系學理）.files\image336.gif)
.
由題設(shè)知正方體棱長為4，則學理）.files\image338.gif)
、學理）.files\image340.gif)
、
學理）.files\image342.gif)
、學理）.files\image344.gif)
、學理）.files\image346.gif)
、學理）.files\image348.gif)
.
1分
（I）設(shè)學理）.files\image350.gif)
,學理）.files\image352.gif)
. 學理）.files\image354.gif)
3分
學理）.files\image356.gif)
, 學理）.files\image358.gif)
.
4分
學理）.files\image360.jpg)
（II）由題設(shè)可得，學理）.files\image362.gif)
, 故學理）.files\image364.gif)
.
學理）.files\image366.gif)
， 學理）.files\image368.gif)
是平面
的法向量.
7分
學理）.files\image371.gif)
.
8分
∴與平面D1DCC1所成角的正弦值為.
9分
（III）學理）.files\image373.gif)
，設(shè)平面D1DP的法向量學理）.files\image375.gif)
，
∵學理）.files\image377.gif)
學理）.files\image379.gif)
.
則學理）.files\image381.gif)
，即學理）.files\image383.gif)
令學理）.files\image385.gif)
，則學理）.files\image387.gif)
學理）.files\image390.gif)
.
12分
點C到平面D1DP的距離為學理）.files\image392.gif)
.
14分
（17）（共13分）
解（I）設(shè)事件“某人參加A種競猜活動只獲得一個福娃獎品”為事件M， 1分
依題意，答對一題的概率為學理）.files\image394.gif)
，則
P(M)=學理）.files\image396.gif)
3分
=學理）.files\image398.gif)
.
4分
（II）依題意，某人參加B種競猜活動，結(jié)束時答題數(shù)學理）.files\image152.gif)
=1,2,…,6,
5分
則學理）.files\image400.gif)
，學理）.files\image402.gif)
，學理）.files\image404.gif)
，學理）.files\image406.gif)
，
學理）.files\image408.gif)
，學理）.files\image410.gif)
.
11分
所以，的分布列是
1
2
3
4
5
6
P
學理）.files\image412.gif)
學理）.files\image414.gif)
學理）.files\image416.gif)
學理）.files\image418.gif)
學理）.files\image420.gif)
學理）.files\image422.gif)
設(shè)學理）.files\image424.gif)
，
則學理）.files\image426.gif)
∴學理）.files\image428.gif)
學理）.files\image430.gif)
學理）.files\image432.gif)
,
∴ E=學理）.files\image434.gif)
=學理）.files\image436.gif)
.
13分
答：某人參加A種競猜活動只獲得一個福娃獎品的概率為學理）.files\image438.gif)
；某人參加B種競猜活動，結(jié)束時答題數(shù)為，E為學理）.files\image440.gif)
.
學理）.files\image442.gif)
（18）（本小題共13分）
解；如圖，建立直角坐標系，依題意：設(shè)橢圓方
程為學理）.files\image444.gif)
（a>b>0）， 1分
（I）依題意：學理）.files\image446.gif)
4分
橢圓M的離心率大于0.7，所以學理）.files\image449.gif)
.
橢圓方程為學理）.files\image452.gif)
.
6分
（II）因為直線l過原點與橢圓交于點學理）.files\image160.gif)
，設(shè)橢圓M的左焦點為學理）.files\image455.gif)
.
由對稱性可知，四邊形學理）.files\image457.gif)
是平行四邊形.
學理）.files\image166.gif)
的面積等于學理）.files\image460.gif)
的面積.
8分
∵
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