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 一元二次方程的整數(shù)根

于瑩

    一元二次方程的整數(shù)根問題難度較大，是中考特別是競賽中的爬坡題型。本文舉例說明與一元二次方程整數(shù)根有關(guān)問題的解法。

    例1. 已知方程的兩根都是整數(shù)，試求整數(shù)a的值。

    思路分析：當(dāng)a取值不同時，方程的系數(shù)就隨之不同，方程的根的情況也就發(fā)生變化。究意什么情況下，方程的兩根都是整數(shù)呢？還是從根與系數(shù)的關(guān)系入手比較好。

    解：設(shè)方程的兩整數(shù)根為、，根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系得：

    （1）＋（2）得：

    所以

    或

    或或

    所以或或或

    因為，所以

    只有或符合題意，代入（2）得：

    例2. 已知方程有兩個不等的負(fù)整數(shù)根，則a的值是______。

    思路分析：本題的條件在“整數(shù)根”的基礎(chǔ)上更進(jìn)一步，變?yōu)椤柏?fù)整數(shù)根”，這對系數(shù)a有了更多的限制。另外，本題的a沒有說它是整數(shù)，難度更大了。應(yīng)當(dāng)抓住“負(fù)整數(shù)根”做文章。

    解：

    所以

    依題意有：、均為負(fù)整數(shù)，符合此條件的僅有。

    例3. 設(shè)m為自然數(shù)，且，若方程的兩根均為整數(shù)，則m＝______。

    思路分析：題目已給出m的范圍，再加上判別式應(yīng)滿足的條件，可進(jìn)一步對m加以限制，就不難求出符合條件的m值了。

    解：

    因為原方程的兩根均為整數(shù)，所以必為完全平方數(shù)，且必為奇數(shù)的平方。于是由得，在此范圍內(nèi)的奇完全平方數(shù)只有25和49。

    所以或

    所以或

    經(jīng)檢驗，、24均符合題意。

    誤區(qū)點撥：本題解法的最后一步檢驗雖一語帶過，但卻是一個必不可少的步驟。因為整系數(shù)一元二次方程的判別式是完全平方數(shù)只是該方程有整數(shù)根的必要條件，但不是充分條件。也就是說，為完全平方數(shù)，并不能保證方程一定有整數(shù)根，所以說，必須進(jìn)行檢驗。