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如圖(甲)所示，兩光滑導軌都由水平、傾斜兩部分圓滑對接而成，相互平行放置，兩導軌相距L＝lm，傾斜導軌與水平面成＝30°角，傾斜導軌的下面部分處在一垂直斜面的勻強磁場區(qū)I中，I區(qū)中磁場的磁感應強度B₁隨時間變化的規(guī)律如圖(乙)所示，圖中t₁、t₂未知．水平導軌足夠長，其左端接有理想的靈敏電流計G和定值電阻R＝3 Ω，水平導軌處在一豎直向上的勻強磁場區(qū)Ⅱ中，Ⅱ區(qū)中的磁場恒定不變，磁感應強度大小為B₂＝1 T，在t＝0時刻，從斜軌上磁場I區(qū)外某處垂直于導軌水平釋放一金屬棒ab，棒的質量m＝0.1 kg，電阻r＝2 Ω，棒下滑時與導軌保持良好接觸，棒由斜軌滑向水平軌時無機械能損失，導軌的電阻不計．若棒在斜面上向下滑動的整個過程中，靈敏電流計G的示數大小保持不變，t₂時刻進入水平軌道，立刻對棒施一平行于框架平面沿水平方向且與桿垂直的外力．(g取10 m/s²)求∶

(1)磁場區(qū)I在沿斜軌方向上的寬度d；

(2)棒從開始運動到剛好進入水平軌道這段時間內ab棒上產生的熱量；

(3)若棒在t₂時刻進入水平導軌后，電流計G的電流大小I隨時間t變化的關系如圖(丙)所示(I₀未知)，已知t₂到t₃的時間為0.5 s，t₃到t₄的時間為1 s，請在圖(丁)中作出t₂到t₄時間內外力大小F隨時間t變化的函數圖像．

相距L＝1.5 m的足夠長金屬導軌豎直放置，質量m₁＝1 kg的金屬棒ab和質量m₂＝0.27 kg的金屬棒cd，均通過棒兩端的套環(huán)水平地套在金屬導軌上，如圖1所示，虛線上方磁場的方向垂直紙面向里，虛線下方磁場的方向豎直向下，兩處磁場磁感應強度大小相同．ab棒光滑，cd棒與導軌間動摩擦因數μ＝0.75，兩棒總電阻為1.8 Ω，導軌電阻不計．ab棒在方向豎直向上、大小按圖2所示規(guī)律變化的外力F作用下，從靜止開始沿導軌勻加速運動，同時cd棒也由靜止釋放．(g＝10 m/s²)

(1)求ab棒加速度的大小和磁感應強度B的大��；

(2)已知在2 s內外力F做了26.8 J的功，求這一過程中兩金屬棒產生的總焦耳熱；

(3)求出cd棒達到最大速度所需的時間t₀，并在圖3中定性畫出cd棒所受摩擦力f_cd隨時間變化的圖線．

如圖所示，兩電阻不計的足夠長光滑平行金屬導軌與水平面夾角，導軌間距l，所在平面的正方形區(qū)域abcd內存在有界勻強磁場，磁感應強度為B＝0.2 T，方向垂直斜面向上．將甲乙兩電阻阻值相同、質量均為m＝0.02 kg的相同金屬桿如圖放置在導軌上，甲金屬桿處在磁場的上邊界，甲乙相距也為l，其中l＝0.4 m．靜止釋放兩金屬桿的同時，在甲金屬桿上施加一個沿著導軌的外力F，使甲金屬桿在運動過程中始終做沿導軌向下的勻加速直線運動，加速度大小5 m/s²．(取g＝10 m/s²)

(1)乙金屬桿剛進入磁場時，發(fā)現(xiàn)乙金屬桿作勻速運動，則甲乙的電阻R為多少？

(2)以剛釋放時t＝0，寫出從開始到甲金屬桿離開磁場，外力F隨時間t的變化關系，并說明F的方向．

(3)乙金屬桿在磁場中運動時，乙金屬桿中的電功率多少？

(4)若從開始釋放到乙金屬桿離開磁場，乙金屬桿中共產生熱量J，試求此過程中外力F對甲做的功．

如圖所示，用兩根金屬絲彎成一光滑半圓形軌道，豎直固定在地面上，其圓心為O、半徑為0.3 m．軌道正上方離地0.4 m處固定一水平長直光滑桿，桿與軌道在同一豎直平面內，桿上P點處固定一定滑輪，P點位于O點正上方．A、B是質量均為2 kg的小環(huán)，A套在桿上，B套在軌道上，一條不可伸長的細繩繞過定滑輪連接兩環(huán)．兩環(huán)均可看作質點，且不計滑輪大小與質量．現(xiàn)在A環(huán)上施加一個大小為55 N的水平向右恒力F，使B環(huán)從地面由靜止沿軌道上升．(g取10 m/s²)，求：

(1)在B環(huán)上升到最高點D的過程中恒力F做功為多少？

(2)當被拉到最高點D時，B環(huán)的速度大小為多少？

(3)當B、P間細繩恰與圓形軌道相切時，B環(huán)的速度大小為多少？

(4)若恒力F作用足夠長的時間，請描述B環(huán)經過D點之后的運動情況．

如圖所示，質量為M\傾角為α的斜面體(斜面光滑且足夠長)放在粗糙的水平地面上，底部與地面的動摩擦因數為μ，斜面頂端與勁度系數為k、自然長度為l的輕質彈簧相連，彈簧的另一端連接著質量為m的物塊．壓縮彈簧使其長度為時將物塊由靜止開始釋放，且物塊在以后的運動中，斜面體始終處于靜止狀態(tài)．重力加速度為g．

(1)求物塊處于平衡位置時彈簧的長度；

(2)選物塊的平衡位置為坐標原點，沿斜面向下為正方向建立坐標軸，用x表示物塊相對于平衡位置的位移，證明物塊做簡諧運動；

(3)求彈簧的最大伸長量；

(4)為使斜面始終處于靜止狀態(tài)，動摩擦因數μ應滿足什么條件(假設滑動摩擦力等于最大靜摩擦力)？

隨著摩天大樓高度的增加，鋼索電梯的制造難度越來越大．利用直流電機模式獲得電磁驅動力的磁動力電梯研發(fā)成功．磁動力電梯的轎廂上安裝了永久磁鐵，電梯的井壁上鋪設了電線圈．這些線圈采取了分段式相繼通電，生成一個移動的磁場，從而帶動電梯上升或者下降．工作原理可簡化為如下情景．

如圖所示，豎直平面內有兩根很長的平行豎直軌道，軌道間有垂直軌道平面、方向相反的勻強磁場，磁感應強度均為B；電梯轎廂固定在如圖所示的一個N匝金屬框abcd內(電梯轎廂在圖中未畫出)，并且與之絕緣，金屬框cd的邊長為L，兩磁場的豎直寬度與金屬框ac邊的長度相同且均為d，金屬框整個回路的總電阻為R；電梯所受阻力大小恒為f；電梯空載時的總質量為m₀．已知重力加速度為g．

(1)兩磁場以速度v₀豎直向上做勻速運動，電梯在圖示位置由靜止啟動的瞬間，金屬線框內感應電流的大小和方向；

(2)兩磁場以速度v₀豎直向上做勻速運動，來啟動處于靜止狀態(tài)的電梯，運載乘客的總質量應滿足什么條件；

(3)兩磁場以速度v₀豎直向上做勻速運動，啟動處于靜止狀態(tài)下空載的電梯，最后電梯以某一速度做勻速運動，求在電梯勻速運動的過程中，外界在單位時間內提供的總能量．

隨著越來越高的摩天大樓在各地的落成，至今普遍使用的鋼索懸掛式電梯已經漸漸地不適用了．這是因為鋼索的長度隨著樓層的增高而相應增加，這樣這些鋼索會由于承受不了自身的重量，還沒有掛電梯就會被扯斷．為此，科學技術人員正在研究用磁動力來解決這個問題．如圖所示就是一種磁動力電梯的模擬機，即在豎直平面上有兩根很長的平行豎直軌道，軌道間有垂直軌道平面的勻強磁場B₁和B₂，且B₁和B₂的方向相反，大小相等，即B₁＝B₂＝1 T，兩磁場始終豎直向上作勻速運動．電梯橋廂固定在如圖所示的一個閣超導材料制成的金屬框abcd內(電梯橋廂在圖中未畫出)，并且與之絕緣．電梯載人時的總質量為5×10³ kg，所受阻力f＝500 N，金屬框垂直軌道的邊長L_cd＝2 m，兩磁場的寬度均與金屬框的邊長L_ac相同，金屬框整個回路的電阻R＝9.5×10^－4 Ω，假如設計要求電梯以v₁＝10 m/s的速度向上勻速運動，那么，(取g＝10 m/s²)

(1)磁場向上運動速度v₀應該為多大？(結果保留兩位有效數字)

(2)在電梯向上作勻速運動時，為維持它的運動，外界必須提供能量，那么此時系統(tǒng)的效率為多少？(結果保留三位有效數字)

在xoy平面直角坐標系的第Ⅰ象限有射線OA，OA與x軸正方向夾角為30°，如圖所示，OA與y軸所夾區(qū)域存在y軸負方向的勻強電場，其它區(qū)域存在垂直坐標平面向外的勻強磁場；有一帶正電粒子質量m，電量q，從y軸上的P點沿著x軸正方向以v₀的初速度射入電場，運動一段時間沿垂直于OA方向經過Q點進入磁場，經磁場偏轉，過y軸正半軸上的M點再次垂直進入勻強電場．已知OP＝h，不計粒子的重力．

(1)求粒子垂直射線OA經過Q點的速度v_Q；

(2)求勻強電場的電場強度E與勻強磁場的磁感應強度B的比值；

(3)粒子從M點垂直進入電場后，如果適當改變電場強度，可以使粒子再次垂直O(jiān)A進入磁場，再適當改變磁場的強弱，可以使粒子再次從y軸正方向上某點垂直進入電場；如此不斷改變電場和磁場，會使粒子每次都能從y軸正方向上某點垂直進入電場，再垂直O(jiān)A方向進入磁場……求粒子從P點開始經多長時間能夠運動到O點？

圖(a)所示，在垂直于勻強磁場B的平面內，半徑為r的金屬圓盤繞過圓心O的軸承轉動，圓心O和邊緣K通過電刷與一個電路連接．電路中的P是加上一定正向電壓才能導通的電子元件．流過電流表的電流I與圓盤角速度ω的關系如圖(b)所示，其中ab段和bc段均為直線，且ab段過坐標原點．ω＞0代表圓盤逆時針轉動．已知：R＝3.0 Ω，B＝1.0 T，r＝0.2 m．忽略圓盤，電流表和導線的電阻．

(1)根據圖(b)寫出ab、bc段對應的I與ω的關系式；

(2)求出圖(b)中b、c兩點對應的P兩端的電壓U_b、U_c；

(3)分別求出ab、bc段流過P的電流I_P與其兩端電壓U_P的關系式．

在科學研究中，可以通過施加適當的電場和磁場來實現(xiàn)對帶電粒子運動的控制．如圖(1)所示的xOy平面處于勻強電場和勻強磁場中，電場強度E和磁感應強度B隨時間t作周期性變化的圖象如圖(2)所示．x軸正方向為E的正方向，垂直紙面向里為B的正方向．在坐標原點O有一粒子P，其質量和電荷量分別為m和＋q．不計重力．在t＝時刻釋放P，它恰能沿一定軌道做往復運動．

(1)求P在磁場中運動時速度的大小v₀；

(2)求B₀應滿足的關系；

(3)在t₀(0＜t0＜)時刻釋放P，求P速度為零時的坐標．