Question

12．兩間距為L=0.9m的足夠長的金屬導軌與水平方向成θ=37°角，空間存在與導軌平面垂直向上的勻強磁場．現(xiàn)在導軌的上下兩端分別接有阻值為R₁=R₂=10Ω的電阻，如圖所示，S閉合時，將一質量為m=0.75kg，電阻為r=1Ω的導體棒由靜止釋放，導體棒與導軌間的接觸始終良好，導體棒勻速運動時的速度為v=1m/s，電路消耗的電功率與重力功率的比值為$\frac{3}{4}$．（取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）求：
（1）磁感應強度的大��；
（2）S斷開狀態(tài)下，設導體棒從靜止開始運動一段距離時，恰好達到最大速度，且R₂產(chǎn)生熱量Q₂=5J，求棒運動的距離x．

Answer 1

分析 （1）當導體棒做勻速直線運動時達到穩(wěn)定狀態(tài)，根據(jù)法拉第電磁感應定律、歐姆定律和整個電路消耗的電功率與重力功率的關系，即可求解勻強磁場磁感應強度B；
（2）棒穩(wěn)定時受力平衡，根據(jù)平衡條件求解動摩擦因數(shù)μ；S斷開瞬間，電路中總電阻（R₂+r）比原來大，使安培力減小，棒受到合力沿軌道向下，會繼續(xù)加速，直至最終受力平衡，此后棒勻速運動，根據(jù)平衡條件和法拉第電磁感應定律、歐姆定律、安培力公式結合求解最大速率，再由動能定理和功能關系求解x．

解答 解：（1）S閉合時，電路總電阻R=$\frac{{R}_{1}{R}_{2}}{{R}_{1}+{R}_{2}}$+r
穩(wěn)定后導體棒以速率v勻速下滑，感應電動勢 E=BLv
棒中電流 I=$\frac{E}{R}$
電路總電功率 P_總=I²R
棒的重力功率 P_G=mgvsin θ
據(jù)題有 P_總=$\frac{3}{4}$P_G
聯(lián)立各式代入數(shù)據(jù)解得 B=$\frac{1}{2L}$$\sqrt{\frac{3mgRsinθ}{v}}$=5T．
（2）S斷開前，當棒勻速運動時，有：mgsin θ-BIL-μmgcos θ=0
可得μ=0.1875，f=μmgcos θ=1.125 N
設S斷開達平衡狀態(tài)時的速度為v_m，棒受安培力為F′_安；
則有mgsin θ-f-F′_安=0
得 F′_安=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{{R}_{2}+r}$
從靜止到運動x之間用動能定理：
（mgsin θ-f）x-W_B=$\frac{1}{2}$mv${\;}_{m}^{2}$
又W_B=$\frac{{R}_{2}+r}{{R}_{2}}$•Q₂
聯(lián)立解得 x=2 m．
答：
（1）磁感應強度的大小是5T；
（2）棒運動的距離x是2m．

點評 本題關鍵要正確判斷出棒穩(wěn)定時的狀態(tài)：勻速直線運動，從功率和力兩個角度進行分析和列式．運用功率關系，要根據(jù)能量守恒如何轉化的入手，確定功率關系．