Question

8．如圖所示，在豎直面上固定著一根光滑絕緣的圓形空心管，其圓心在O點(diǎn)．過(guò)O點(diǎn)的一條水平直徑及其延長(zhǎng)線上的A、B兩點(diǎn)固定著兩個(gè)電荷．其中固定于A點(diǎn)的為正電荷，所帶的電荷量為Q；固定于B點(diǎn)的是未知電荷．在它們形成的電場(chǎng)中，有一個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m、帶電荷量為q的小球正在空心管中做圓周運(yùn)動(dòng)，若已知小球以某一速度通過(guò)最低點(diǎn)C處時(shí)，小球恰好與空心管上、下壁均無(wú)擠壓且無(wú)沿切線方向的加速度，A、B間的距離為L(zhǎng)，∠ABC=∠ACB=30°．CO⊥OB，靜電力常量為k，重力加速度為g．
（1）確定小球和固定在B點(diǎn)的電荷的帶電性質(zhì)，并在圖上作出小球在C處時(shí)的受力示意圖．
（2）求固定在B點(diǎn)的電荷所帶的電荷量．
（3）求小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)處，空心管對(duì)小球作用力的大小和方向．

Answer 1

分析 （1）小球做圓周運(yùn)動(dòng)，必須有向心力，根據(jù)小球在C點(diǎn)處恰好與滑槽內(nèi)、外壁均無(wú)擠壓且無(wú)沿切線方向的加速度可知，小球在C點(diǎn)的合力方向一定沿CO且指向O點(diǎn)，作出力圖，即可判斷出小球帶負(fù)電，B帶負(fù)電．
（2）根據(jù)小球在C點(diǎn)無(wú)切向加速度，切線方向力平衡，根據(jù)庫(kù)侖定律列式求得B的電荷量．
（3）對(duì)C點(diǎn)受力分析根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和動(dòng)能定理進(jìn)行解答．

解答 解：（1）由小球在C點(diǎn)處恰好與滑槽內(nèi)、外壁均無(wú)擠壓且無(wú)沿切線方向的加速度，可知小球在C點(diǎn)的合力方向一定沿CO且指向O點(diǎn)，所以A處電荷對(duì)小球吸引，B處電荷對(duì)小球排斥，因?yàn)锳處電荷為正，所以小球帶負(fù)電，B帶負(fù)電，如圖所示．
（2）因?yàn)椤螦BC=∠ACB=30°，CO⊥OB，由幾何關(guān)系得：BC=2ABcos30°=$\sqrt{3}$L
由于無(wú)切向加速度，小球沿切線方向的合力為零，則有：
 k$\frac{qQ}{{L}^{2}}$cos60°=k$\frac{q{Q}_{B}}{（\sqrt{3}L）^{2}}$cos30°，
解得：Q_B=$\sqrt{3}$Q；
（3）設(shè)小球在最低點(diǎn)C處的速度為v_C，
則：F-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$，
小球從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的過(guò)程中，電勢(shì)能不變，故由動(dòng)能定理知：
2mgR=$\frac{1}{2}$mv_C²-$\frac{1}{2}$mv²，
小球在最高點(diǎn)受到A、B電荷的作用力合為F，方向豎直向下
即：F+mg-F_管=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得：F_管=6mg，故空心管對(duì)小球的作用力大小為6mg，方向豎直向上．
答：（1）小球帶負(fù)電，B處電荷帶負(fù)電，小球的受力情況如圖所示；
小球和固定在B點(diǎn)的電荷的帶電性質(zhì)，并在圖上作出小球在C處時(shí)的受力示意圖．
（2）固定在B點(diǎn)的電荷所帶的電荷量為$\sqrt{3}$Q．
（3）小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)處，空心管對(duì)小球作用力的大小為6mg，方向：方向豎直向上．

點(diǎn)評(píng) 本題的突破口是“小球在C點(diǎn)處恰好與滑槽內(nèi)、外壁均無(wú)擠壓且無(wú)沿切線方向的加速度”，分析小球的受力情況，確定出向心力，判斷小球與B的電性．