Question

用單位長度的質(zhì)量為0.5kg/m的直木板做成直軌道，軌道的左端A擱在一個水平臺上，并與一個固定光滑曲面的底端平滑相接，軌道在B點處與一豎直支架固定在一起，B點到A端的距離為0.8m，支架的高也為0.8m，軌道恰好水平。支架的下端與垂直于紙面的固定軸O連接，因此軌道可繞軸O沿順時針方向翻動。現(xiàn)將一個可看做質(zhì)點的滑塊從曲面上P點由靜止釋放，已知滑塊質(zhì)量為0.4kg，P到軌道的豎直距離為0.2m，滑塊與軌道之間的動摩擦因數(shù)為0.125，重力加速度g取10m/s²。

（1）求滑塊運動到A點時的速度大小；

（2）若軌道長為1.024m，請通過計算確定滑塊是否能水平飛離軌道；

（3）用同樣的直木板，做成不同長度的直軌道，保持B點到軌道左端A的距離為0.8m，仍將滑塊從P點由靜止釋放，為確�；瑝K在軌道上滑行時支架不翻倒，求軌道長度的范圍。

Answer 1

（1）滑塊從P到A，由 mv_A²-0=W_G，可解得v_A=2m/s（3分）

（2）假設(shè)軌道固定且足夠長，滑塊從P運動到軌道上，設(shè)在水平軌道上能滑行的最大距離為s，

由W_f= W_G，μmgs =mgh，可解得s =  =m=1.6m>1.024m

所以滑塊能運動到軌道末端（3分）

滑塊在軌道末端時，軌道的重力矩為MgL_M=0.5×1.024×10×（0.8-）N·m=1.47 N·m

滑塊的壓力和摩擦力的力矩為：

mgL_m+μmg L_f=0.4×10×（1.024-0.8）N·m+0.125×0.4×10×0.8 N·m=1.296 N·m

因為軌道的重力矩大于滑塊的壓力和摩擦力的力矩，所以軌道不會翻轉(zhuǎn)。（3分）

所以滑塊能水平飛離軌道。（1分）

（3）設(shè)軌道長度為xm，軌道質(zhì)量為M=0.5xkg

恰好翻倒時，Mg（0.8-x）=mg（x-0.8）+μmg×0.8

可求出x=m （或1.058m）

所以軌道長度的范圍為（0.8，）m（3分）