Question

4．如圖所示，一半徑為R的光滑絕緣圓形軌道豎直放置，一質(zhì)量為m，電荷量為q的小球（可視為近質(zhì)點(diǎn)）可以在軌道內(nèi)則運(yùn)動(dòng)．當(dāng)在軌道所在的區(qū)域內(nèi)加上水平向右的勻強(qiáng)電場時(shí)，小球可靜止在圖中的A點(diǎn)，OA與豎直方向的夾角為53°．圖中C點(diǎn)與A點(diǎn)在同一直徑上．求：
（1）小球的電性及電場強(qiáng)度的大�。�
（2）現(xiàn)給小球一個(gè)初速度，小球能沿圓形軌道做圓周運(yùn)動(dòng)，求這個(gè)初速度的最小值；
（3）若在軌道平面內(nèi)加上垂直向里的勻強(qiáng)磁場（圖中未畫出），使小球從A點(diǎn)以沿切線方向的初速度v₀′=$\sqrt{10gR}$出發(fā)，小球剛好能過C點(diǎn)，求磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小及小球過A點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力．

Answer 1

分析 （1）小球在A點(diǎn)處于平衡狀態(tài)，由共點(diǎn)力的平衡條件可求得電場強(qiáng)度的大小；
（2）根據(jù)等效重力場可明確等效重力場；再由動(dòng)能定理可求得A點(diǎn)的速度；
（3）對C點(diǎn)由向心力公式，再對AC過程由動(dòng)能定理列式，聯(lián)立可求得壓力大�。�

解答 解：（1）小球在A點(diǎn)受力如圖．要使小球能平衡，則可知電場力一定向右；則小球受力沿電場線；故小球帶正電；
由平衡條件得：Ncos53°=mgNsin53°=qE
聯(lián)立以上兩式解得：$E=\frac{4mg}{3q}$．
（2）小球初速度最小時(shí)，過C點(diǎn)時(shí)對軌道壓力為零，設(shè)小球過C點(diǎn)的速度為v_C
$mgcos{53^0}+qEsin{53^0}=m\frac{v_C^2}{R}$
設(shè)小球在A點(diǎn)的最小速度為v_A，由動(dòng)能定理得：$\frac{1}{2}mv_A^2-\frac{1}{2}mv_C^2=2mgRcos{53^0}+2qERsin{53^0}$
聯(lián)立以上各式解得：${v_A}=\frac{5}{3}\sqrt{3gR}$
（3）設(shè)加磁場后，小球剛能過C點(diǎn)速度為v，對C點(diǎn)由向心力公式可知：
$mgcos{53^0}+qEsin{53^0}+qBv=m\frac{v^2}{R}$
由動(dòng)能定理可知：$\frac{1}{2}m{v^2}-\frac{1}{2}mv_0^2=（-2mgRcos{53^0}）+（-2qERsin{53^0}）$
聯(lián)立以上各式解得：$B=\frac{m}{q}\sqrt{\frac{5g}{6R}}$
小球在A點(diǎn)時(shí)：$N+qB{v_0}-mgcos{53^0}-qEsin{53^0}=m\frac{v_0^2}{R}$
聯(lián)立以上各式解得：$N=\frac{{35-5\sqrt{3}}}{3}mg$
由牛頓第三定律得：${N^/}=N=\frac{{35-5\sqrt{3}}}{3}mg$
答：（1）小球的電性及電場強(qiáng)度的大小為$\frac{4mg}{3q}$
（2）這個(gè)初速度的最小值為$\frac{5}{3}$$\sqrt{3gR}$；
（3）磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小及小球過A點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力為$\frac{35-5\sqrt{3}}{3}$mg．

點(diǎn)評 本題考查帶電電粒子在復(fù)合場中的運(yùn)動(dòng)，要注意明確等效重力場的方法；同時(shí)注意在應(yīng)用功能關(guān)系時(shí)各力做功的特點(diǎn)，特別牢記洛侖茲力永不做功．