Question

如圖所示，豎直放置的斜面AB的下端與光滑的圓弧軌道BCD的B端相切，圓弧半徑為R，圓心與A、D在同一水平面上，∠COB=θ，現(xiàn)有一個(gè)質(zhì)量為m的小物體從斜面上的A點(diǎn)無初速滑下，已知小物體與斜面間的動摩擦因數(shù)為μ，求：
（1）試分析小物體最后所處的運(yùn)動狀態(tài)；
（2）小物體第一次過C點(diǎn)的速度；
（3）小物體在斜面上能夠通過的總路程；
（4）小物體通過C點(diǎn)時(shí)，對C點(diǎn)的最大壓力和最小壓力．

Answer 1

分析：（1）分析摩擦力做功，小物體的機(jī)械能不斷減小，即可判斷出小物體最后所處的運(yùn)動狀態(tài)；
（2）根據(jù)動能定理求解小物體第一次過C點(diǎn)的速度；
（3）由幾何知識得知，斜面的傾角等于30°．物體從A點(diǎn)無初速度滑下后，由于克服摩擦力做功，物體在斜面上運(yùn)動時(shí)機(jī)械能不斷減小，到達(dá)的最大高度越來越小，最終在BE圓弧上來回運(yùn)動，到達(dá)B點(diǎn)的速度為零．物體在斜面上運(yùn)動時(shí)摩擦力大小為μmgcosθ，總是做負(fù)功，滑動摩擦力做的總功與總路程成正比，根據(jù)動能定理求解總路程．
（4）當(dāng)物體第一次經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)，速度最大，對C點(diǎn)的壓力最大，當(dāng)最后穩(wěn)定后，物體在BE之間運(yùn)動時(shí)，經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)速度最小，物體對C點(diǎn)的壓力最小，根據(jù)動能定理求出最大速度和最小速度，再由牛頓運(yùn)動定律求解最大壓力和最小壓力．

解答：解：（1）由于小物體在斜面上運(yùn)動時(shí)克服摩擦力做功，其機(jī)械能不斷減小，故小物體最后所處的運(yùn)動狀態(tài)：在BE間來回振動，如圖．
（2）根據(jù)動能定理得：
  mgR-μmgcosθ?Rcotθ=

1

2

m

v

2 C

解得，v_C=

2gR-2μgRcosθcotθ

（3）設(shè)物體在斜面上滑行的總路程為S．對物體從A到B（或E）的過程，應(yīng)用動能定理得
  mgRcosθ-μmgcosθS=0
解得 S=

R

μ

（4）在最低點(diǎn)，支持力和重力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律，有：
  N-mg=m

v 2 C

R

第一次過C點(diǎn)時(shí)壓力最大，最大壓力為N′=N=mg+m

v 2 C

R

=mg（3-2μg

cosθ

tanθ

）；
當(dāng)最后穩(wěn)定后，物體在BE之間運(yùn)動時(shí)，設(shè)物體經(jīng)過C點(diǎn)的速度為v_C1，由動能定理得
mgR（1-cosθ）=

1

2

m

v

2 C1

在最低點(diǎn)，有N₁-mg=m

v 2 C1

R

最終過C時(shí)的壓力最小，最小壓力為N₁′=N₁=mg+m

v 2 C1

R

=mg（3-2cosθ）
答：
（1）試分析小物體最后所處的運(yùn)動狀態(tài)；
（2）小物體第一次過C點(diǎn)的速度為

2gR-2μgRcosθcotθ

；
（3）小物體在斜面上能夠通過的總路程為

R

μ

；
（4）小物體通過C點(diǎn)時(shí)，對C點(diǎn)的最大壓力為mg（3-2μg

cosθ

tanθ

），最小壓力為mg（3-2cosθ）．

點(diǎn)評：本題關(guān)鍵要分析清楚滑塊的運(yùn)動規(guī)律，然后根據(jù)動能定理求解速度，根據(jù)牛頓第二定律和向心力公式求解彈力．