Question

如圖所示，質(zhì)量為m的飛行器在繞地球的圓軌道上運行，半徑為r₁，要進入半徑為r₂的更高的圓軌道Ⅱ，必須先加速進入一個橢圓軌Ⅲ，然后再進入圓軌道Ⅱ．已知飛行器在圓軌道Ⅱ上運動速度大小為v₂，在A點時通過發(fā)動機向后噴出一定的質(zhì)量氣體使飛行器速度增加到v′，進入橢圓軌道Ⅲ，設(shè)噴出的氣體的速度大小為u，求：
（1）飛行器在軌道I上的速度v₁及軌道I處的重力加速度．
（2）飛行器噴出氣體的質(zhì)量．

Answer 1

分析：1、根據(jù)萬有引力提供向心力結(jié)合軌道半徑的關(guān)系求出線速度的大小，根據(jù)向心加速度的公式求出向心加速度的大�。�
2、根據(jù)動量守恒定律求出發(fā)電機噴出氣體的質(zhì)量

解答：解：（1）在軌道Ⅰ上，根據(jù)萬有引力提供向心力有：

GMm

r 2 1

=m

v 2 1

r1

，
得：v₁=

GM r1

．
同理在軌道Ⅱ上有：v₂=

GM r2

．
聯(lián)立得：v₁=v₂

r2 r1

．
設(shè)在軌道Ⅰ上的重力加速度為g₁，則：

GMm

r 2 1

=mg₁
代入上式，解得：g₁=

r2

r 2 1

v₂．
（2）設(shè)噴出氣體質(zhì)量為△m，由題意知，飛船在噴氣過程中，運動方向上動量守恒，有：
mv₁=（m-△m）v'-△mu，
v₁=v₂

r2 r1

聯(lián)立解得：△m=

v′-v2 r2 r1

v′+u

答：（1）飛行器在軌道I上的速度大小是v₂

r2 r1

，軌道I處的重力加速度是

r2

r 2 1

v₂．
（2）飛行器噴出氣體的質(zhì)量是

v′-v2 r2 r1

v′+u

．

點評：本題考查了萬有引力提供向心力這一理論，以及動量守恒定律，難度中等，平時的練習(xí)中需加強訓(xùn)練．