Question

13．某玩具裝置如圖甲所示，軌道AC段水平，CD段是光滑半圓弧軌道，直徑CD豎直，圓心為O，半徑R=0.4m，彈簧的左端固定，自由狀態(tài)下右端在B點，對質(zhì)量m=0.1kg的小彈珠P施加作用力使得彈簧壓縮量為x₀，解除約束后小彈珠由靜止運動，恰好經(jīng)過D點后落回到B點，已知小彈珠與軌道AC的動摩擦因數(shù)為0.2，彈簧的彈性勢能與壓縮量的關(guān)系如圖乙所示，（g=10m/s²，$\sqrt{139.24}$=11.8）．求：

（1）小彈珠P到達半圓軌道最低點C時受到的支持力大��；
（2）彈簧壓縮量x₀．

Answer 1

分析 （1）最高點D進行受力分析，恰好重力提供向心力，運用牛頓第二定律，從C到D運用動能定理，再對C點進行受力分析運用牛頓第二定律，即可求出小彈珠P到達半圓軌道最低點C時受到的支持力大小；
（2）小彈珠P從D到B點做平拋運動，運用平拋運動水平方向和豎直方向的位移規(guī)律，再對小彈珠開始運動到C點的過程運用能量守恒，結(jié)合乙圖中彈簧的彈性勢能與壓縮量的關(guān)系，聯(lián)立即可求出彈簧壓縮量x₀．

解答 解：（1）小彈珠P在D點只受重力，根據(jù)牛頓第二定律有：mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
小彈珠P從C到D點，根據(jù)動能定理可得：-2mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
小彈珠P在C點，根據(jù)牛頓第二定律有：F-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
解得：F=6N
（2）小彈珠P從D到B點做平拋運動，根據(jù)平拋規(guī)律有：2R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，BC長度：x=v_Dt
小彈珠P從開始運動到C點，根據(jù)能量守恒定律可得：E_P=μmg（x₀+x）+$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
根據(jù)圖象可知，彈簧壓縮量為x₀時其彈性勢能為：E_P=30x₀²
解得：x₀=0.2m
答：（1）小彈珠P到達半圓軌道最低點C時受到的支持力大小為6N；
（2）彈簧壓縮量x₀為0.2m．

點評 本題考查了動能定理、能量守恒定律、牛頓第二定律的綜合運用，涉及到豎直平面內(nèi)的圓周運動和平拋運動，知道圓周運動向心力的來源，以及平拋運動在豎直方向和水平方向上的運動規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵．