Question

5．如圖甲所示，兩條不光滑平行金屬導(dǎo)軌傾斜固定放置，傾角θ=37°，間距d=1m，電阻r=2Ω的金屬桿與導(dǎo)軌垂直連接，導(dǎo)軌下端接燈泡L，規(guī)格為“4V，4W”，在導(dǎo)軌內(nèi)有寬為l、長為d的矩形區(qū)域abcd，矩形區(qū)域內(nèi)有垂直導(dǎo)軌平面均勻分布的磁場，各點的磁感應(yīng)強度B大小始終相等，B隨時間t變化如圖乙所示．
在t=0時，金屬桿從PQ位置靜止釋放，向下運動直到cd位置的過程中，燈泡一直處于正常發(fā)光狀態(tài)．不計兩導(dǎo)軌電阻，sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度g=10m/s²．求：

（1）金屬桿的質(zhì)量m；
（2）0～3s內(nèi)金屬桿損失的機械能△E．

Answer 1

分析 （1）由于金屬桿從PQ位置靜止釋放，向下運動直到cd位置的過程中，燈泡一直處于正常發(fā)光狀態(tài)，說明棒在PQ到ab的運動過程，B均勻增大，在從ab到cd的運動過程中做勻速運動，研究PQ到ab的過程，根據(jù)P=UI，求得通過小燈泡的電流強度，得到回路總的電功率，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律和閉合電路歐姆定律、勻速運動過程中功率關(guān)系列式，即可求得電流、電阻，摩擦力和l，再求得m；
（2）由運動學(xué)公式求得兩個過程的位移，根據(jù)能量守恒定律求解機械能的損失．

解答 解：（1）設(shè)小燈泡額定功率為P=4W，額定電流為I，額定電壓為 U=4V，正常發(fā)光時電阻為R，則
  P=UI，得 I=$\frac{P}{U}$=1A
  R=$\frac{U}{I}$=$\frac{4}{1}$Ω=4Ω
在0-1s時間內(nèi)，金屬桿從PQ運動到ab位置，設(shè)整個回路中的感應(yīng)電動勢為E，磁場寬度為l，則
   E=I（R+r）=1×（4+2）V=6V
又 E=$\frac{△Φ}{△t}$=$\frac{△B}{△t}$•dl，$\frac{△B}{△t}$=2 T/s，d=1m
可得 l=3m
在t=1s金屬棒進入磁場后，磁場的磁感應(yīng)強度B保持不變，設(shè)金屬桿進入磁場時速度為v，金屬桿中的感應(yīng)電動勢為E₁，則
  E₁=E=Bdv
設(shè)金屬桿在運動過程中受到的摩擦力為 f，桿進入磁場前加速度為a，則 a=$\frac{v}{{t}_{1}}$
由牛頓第二定律得：mgsinθ-f=ma
進入磁場后桿勻速運動，設(shè)受到的安培力為F_安，所以有：F_安=BId
  mgsinθ=f+F_安；
解得 v=3m/s，a=3m/s²，f=2N，F(xiàn)_安=2N，m=0.67kg
（2）設(shè)金屬桿進入磁場前0-1s內(nèi)的位移為x₁，通過磁場的時間為t₂，則
  x₁=$\frac{v}{2}{t}_{1}$，t₂=$\frac{l}{v}$
解得 x₁=1.5m，t₂=1s
故在2s金屬桿出磁場，設(shè)第3s內(nèi)金屬桿的位移為x₃，3s末金屬桿的速度為v₃，則
  x₃=vt₃+$\frac{1}{2}a{t}_{3}^{2}$
  v₃=v+at₃；
0～3s內(nèi)金屬桿損失的機械能△E=mg（x₁+l+x₃）sinθ-$\frac{1}{2}m{v}_{3}^{2}$
解得 x₃=4.5m，v₃=6m/s，△E=24J
答：
（1）金屬桿的質(zhì)量是0.67kgm；
（2）0～3s內(nèi)金屬桿損失的機械能△E是24J．

點評 對于復(fù)雜的電磁感應(yīng)問題，關(guān)鍵通過審題找到突破口，本題關(guān)鍵抓住燈泡的亮度不變，正確判斷棒的運動情況，從力和能兩個角度進行研究．力的角度關(guān)鍵要會推導(dǎo)安培力與速度的關(guān)系，能的角度關(guān)鍵分析能量是怎樣轉(zhuǎn)化的．