Question

9．如圖所示，木板B連同右端擋板的質量M=1.0kg，靜止放置在水平地面上，質量m=3.0kg的小滑塊A以v₀=3.0m/s的初速度向右滑上木板，初始位置與木板右端擋板的距離d=1.00m，已知滑塊與木板間的動摩擦因數(shù)μ₁=0.2，木板與地面間的動摩擦因數(shù)為μ₂=0.1，滑塊在木板上滑行過程，木板恰好保持靜止，一段時間后滑塊A與擋板發(fā)生正碰，碰撞時沒有機械能損失且時間極短，從碰撞后瞬間開始，對木板B施加一個大小F=7.5N、方向水平向右的推力，當滑塊A和木板B的速度達到相等時立刻將推力撤去，取重力加速度g=10m/s²，最大靜摩擦力可視為等于滑動摩擦力，求：

（1）滑塊與擋板碰撞后瞬間A和B的速度大小；
（2）A和B最后停下時，滑塊A與擋板間的距離和木板B在地面上的總位移．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)牛頓第二定律求出滑塊與擋板碰撞前的加速度大小，根據(jù)位移時間關系求解相碰時的時間，在根據(jù)速度時間關系求解碰撞前的速度，根據(jù)由動量守恒定律和能量守恒定律結合求碰撞后瞬間A和B的速度大��；
（2）根據(jù)牛頓第二定律求出碰后A和B的加速度，由速度時間公式求出速度達到相等所經歷的時間，從而求出此過程A和B的位移．滑塊A和木板B的速度達到相等后，根據(jù)位移速度關系求出整體滑行的距離，從而求得B的總位移．

解答 解：（1）A與B之間的摩擦力為：f₁=μ₁mg=0.2×30N=6N，
B與地面間的最大靜摩擦力為：f₂=μ₂（m+M）g=0.1×40N=4N，
在滑動過程中小滑塊的加速度大小為：a₁=$\frac{{f}_{1}}{m}=\frac{6}{3}m/{s}^{2}=2m/{s}^{2}$，方向向后；
B相對于地面滑動時的加速度大小為：a₂=$\frac{{f}_{1}-{f}_{2}}{M}=\frac{6-4}{1}m/{s}^{2}=2m/{s}^{2}$，方向向前；
經過時間t時相碰，則根據(jù)位移時間關系有：d=v₀t-$\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}$-$\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}$，
即2t²-3t+1=0；
解得：t=0.5s（或t=1s舍去，當t=1s時B的速度大于A的速度，不可能）；
此過程中擋板的位移為：x₁=$\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}$=$\frac{1}{2}×2×0．{5}^{2}m=0.25m$；
滑塊與擋板碰撞前瞬間A的速度 v₁=v₀-a₁t=（3-2×0.5）m/s=2m/s，
B的速度為：v₂=a₂t=2×0.5m/s=1m/s；
滑塊與擋板碰撞過程，取向右為正方向，由動量守恒定律和能量守恒定律得：
  mv₁+Mv₂=mv_A+Mv_B．
 $\frac{1}{2}$mv₁²+$\frac{1}{2}M{v}_{2}^{2}$=$\frac{1}{2}$mv_A²+$\frac{1}{2}$Mv_B²．
聯(lián)立解得：v_A=1.5m/s，v_B=2.5m/s
（2）碰后，A、B的加速度大小分別為：
對A加速度大小為：a_A=$\frac{{μ}_{1}mg}{m}$=μ₁g=2m/s²，方向向前，
對B：a′_B=$\frac{F-{f}_{1}-{f}_{2}}{M}$=$\frac{7.5-6-4}{1}m/{s}^{2}$=-2.5m/s²；
所以B的加速度大小為a_B=2.5m/s²；
設經過t₁時間二者速度相等，則：v_A+a_At₁=v_B-a_Bt₁，
解得：${t}_{1}=\frac{2}{9}s$；
共同速度大小為：v_共=v_A+a_At₁=（1.5+2×$\frac{2}{9}$）m/s=$\frac{35}{18}$m/s；
此過程擋板的位移為：x₂=$\frac{{v}_{B}+{v}_{共}}{2}×{t}_{1}$=$\frac{2.5+\frac{35}{18}}{2}×\frac{2}{9}m$=0.49m；
此過程滑塊的位移為：x_A=$\frac{{v}_{A}+{v}_{共}}{2}{t}_{1}$=$\frac{1.5+\frac{35}{18}}{2}×\frac{2}{9}m$=0.38m；
以后二者以相同的加速度減速運動到靜止，減速運動的加速度大小為：a_共=μ₂g=1m/s²，
減速運動的位移為：x₃=$\frac{{v}_{共}^{2}}{2{a}_{共}}=\frac{（\frac{35}{18}）^{2}}{2×1}m≈1.89m$；
所以滑塊A與擋板間的距離為：△x=x₂-x_A=0.49m-0.38m=0.11m，
木板B在地面上的總位移為：x=x1+x2+x3=0.25m+0.49m+1.89m=2.63m．
答：（1）滑塊與擋板碰撞后瞬間A的速度大小為1.5m/s，B的速度大小為2.5m/s；
（2）A和B最后停下時，滑塊A與擋板間的距離為0.11m，木板B在地面上的總位移為2.63m．

點評 對于牛頓第二定律的綜合應用問題，關鍵是弄清楚物體的運動過程和受力情況，利用牛頓第二定律或運動學的計算公式求解加速度，再根據(jù)題目要求進行解答；知道加速度是聯(lián)系靜力學和運動學的橋梁．