Question

19．游樂場(chǎng)的過山車可以底朝上在圓軌道上運(yùn)行，游客卻不會(huì)掉下來．我們可把這種情形抽象為如圖所示的模型：弧形軌道的下端與豎直軌道相接，使小球從弧形軌道上端滾下，小球進(jìn)入圓軌道下端后沿圓軌道運(yùn)動(dòng)．若圓軌道光滑可忽略摩擦阻力，小球質(zhì)量為m，圓軌道半徑為R，小球從靜止?jié)L下的上端A位置高度為h，若小球剛好能通過圓軌道最高點(diǎn)C并貼著軌道從低端滑出，求：
（1）小球過軌道C點(diǎn)時(shí)動(dòng)能為多大？
（2）軌道上端的高度h多大？
（3）小球通過軌道最低點(diǎn)B時(shí)對(duì)軌道的壓力多大？

Answer 1

分析 （1）小球恰能通過最高點(diǎn)，那么小球在最高點(diǎn)時(shí)應(yīng)該是恰好是物體的重力作為物體的向心力，由向心力的公式可以求得此時(shí)的最小的速度和動(dòng)能；
（2）再由機(jī)械能守恒可以求得離地面的高度h．
（3）小球由靜止運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)的過程中，由機(jī)械能守恒定律求得最低點(diǎn)的速度，由牛頓運(yùn)動(dòng)定律求解小球在通過圓軌道的最低點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力．

解答 解：（1）小球恰能通過最高點(diǎn)，即小球通過最高點(diǎn)時(shí)恰好不受軌道的壓力，重力提供向心力．由牛頓運(yùn)動(dòng)定律有：
mg=$\frac{m{v}^{2}}{R}$
小球在最高點(diǎn)處的速度至少為：v=$\sqrt{gR}$ 
小球的動(dòng)能：${E}_{k}=\frac{1}{2}m{v}^{2}=\frac{1}{2}mgR$
（2）小球由靜止運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的過程中，只有重力做功．由機(jī)械能守恒定律得：
mgh=$\frac{1}{2}$mv²+mg•2R
聯(lián)立解得：h=2.5R．
（3）小球由靜止運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)的過程中，由機(jī)械能守恒定律有：
mgh=$\frac{1}{2}$mv′²
小球在最低點(diǎn)，在重力和軌道的支持力作用下做圓周運(yùn)動(dòng)．由牛頓運(yùn)動(dòng)定律有：
N-mg=$\frac{mv{′}^{2}}{R}$                                                   
聯(lián)立解得：N=6mg．
答：（1）小球過軌道C點(diǎn)時(shí)動(dòng)能為$\frac{1}{2}mgR$．
（2）軌道上端的高度h是2.5R；
（3）小球通過軌道最低點(diǎn)B時(shí)對(duì)軌道的壓力是6mg．

點(diǎn)評(píng) 本題屬于圓周運(yùn)動(dòng)中繩的模型，在最高點(diǎn)時(shí)應(yīng)該是重力恰好做為圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，對(duì)于圓周運(yùn)動(dòng)中的兩種模型一定要牢牢的掌握�。�