Question

拖把是由拖桿和拖把頭構(gòu)成的擦地工具(如圖12)。設(shè)拖把頭的質(zhì)量為m，拖桿質(zhì)量可忽略；拖把頭與地板之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為常數(shù)μ，重力加速度為g。某同學(xué)用該拖把在水平地板上拖地時(shí)，沿拖桿方向推拖把，拖桿與豎直方向的夾角為θ。

(1)若拖把頭在地板上勻速移動(dòng)，求推拖把的力的大小；                  

(2)設(shè)能使該拖把在地板上從靜止剛好開始運(yùn)動(dòng)的水平推力與此時(shí)地板對拖把的正壓力的比值為λ。已知存在一臨界角θ₀，若θ≤θ₀，則不管沿拖桿方向的推力多大，都不可能使拖把從靜止開始運(yùn)動(dòng)。求這一臨界角的正切tan θ₀。

圖12

Answer 1

解：(1)設(shè)該同學(xué)沿拖桿方向用大小為F的力推拖把，將推拖把的力沿豎直和水平方向分解，按平衡條件有

Fcos θ＋mg＝F_N①

Fsin θ＝F_f②

式中F_N和F_f分別為地板對拖把的正壓力和摩擦力。所以有F_f＝μF_N③

聯(lián)立①②③式得

F＝mg④

(2)若不管沿拖桿方向用多大的力都不能使拖把從靜止開始運(yùn)動(dòng)，應(yīng)有Fsin θ≤λF_N⑤

這時(shí)，①式仍成立。聯(lián)立①⑤式得

sin θ－λcos θ≤λ⑥

現(xiàn)求解使上式成立的θ角的取值范圍。注意到上式右邊總是大于零，且當(dāng)F無限大時(shí)極限為零，有

sin θ－λcos θ≤0⑦

使上式成立的θ角滿足θ≤θ₀，這里θ₀是題中所定義的臨界角，即當(dāng)θ≤θ₀時(shí)，不管沿拖桿方向用多大的力都推不動(dòng)拖把。臨界角的正切為

tan θ₀＝λ。⑧

答案：(1)mg　(2)λ