Question

3．在桌面上有一個倒立的玻璃圓錐，其頂點恰好與桌面接觸，圓錐的軸（圖中虛線）與桌面垂直，過軸線的截面為等邊三角形，如圖所示，有一半徑為r的圓柱形平行光束垂直入射到圓錐的底面上，光束的中心軸與圓錐的軸重合，已知玻璃的折射率為n=$\sqrt{3}$，則：
（1）通過計算說明光線1能不能在圓錐的側(cè)面B點發(fā)生全反射？
（2）光束在桌面上形成的光斑半徑為多少？

Answer 1

分析 （1）當半徑為r的圓柱形平行光束垂直入射到圓錐的地面上，經(jīng)過第一次折射時，由于入射角等于零，所以折射角也是零，因此折射光線不發(fā)生偏折．當?shù)诙�次折射時，由于入射角等于60°，而玻璃的折射率為n=$\sqrt{3}$，可得入射角與臨界角的大小，所以會發(fā)生光的全反射．
（2）可根據(jù)幾何關(guān)系可確定光束在桌面上形成的光斑半徑．

解答 解：（1）設(shè)玻璃圓錐的臨界角為C，則由sinC=$\frac{1}{n}$得：
  C=arcsin$\frac{1}{n}$=arcsin $\frac{1}{\sqrt{3}}$=arcsin$\frac{\sqrt{3}}{3}$
而arcsin$\frac{\sqrt{3}}{2}$=60°
所以C＜60°
根據(jù)幾何知識可知，光線在B點的入射角為60°，大于臨界角C，所以光線1能在圓錐的側(cè)面B點發(fā)生全反射．
（2）此時光線在第一界面上發(fā)生全反射后垂直射在相對一側(cè)的界面上，直線射出．
由幾何關(guān)系知：rtan60°=（R+r）tan30°
則光束在桌面上形成的光斑半徑為 R=2r
答：
（1）光線1能在圓錐的側(cè)面B點發(fā)生全反射．
（2）光束在桌面上形成的光斑半徑為2r．

點評 本題關(guān)鍵之處是借助于光的折射與反射定律作出光路圖，同時利用幾何關(guān)系來輔助計算．