Question

質(zhì)量為m的帶電小球，從固定在地面上的半徑為R的光滑半圓軌道頂處由靜止開始沿逆時針方向滑下．
（1）若整個裝置處于磁感強度為B、方向垂直軌道平面向里的勻強磁場中，如圖所示，且小球始終未離開軌道表面，小球應(yīng)帶何種電荷？電量至少多少？
（2）如果去掉磁場，而其它條件不變，小球會在什么地方離開軌道？

Answer 1

分析：（1）分析小球的受力：重力、支持力，洛侖茲力，只有重力做功，其機(jī)械能守恒．小球在軌道最低點最容易離開軌道表面，由題意小球始終未離開軌道表面，在最低點由洛倫茲力的支持力的合力提供向心力，當(dāng)支持力N=0時，洛倫茲力最小，電量最小．由機(jī)械能守恒和牛頓第二定律求解．
（2）如果去掉磁場，小球在到達(dá)最低點前離開軌道，剛離開時軌道的支持力為零，由重力沿半徑方向的分力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律和機(jī)械能守恒結(jié)合求小球與軌道球心連線和豎直方向的夾角．

解答：解：（1）小球沿半球表面滑下至最低點的過程受重力、支持力，洛侖茲力這三個力的作用，但只有重力做功，機(jī)械能守恒，則有  
  mgR=

1

2

mv²
設(shè)小球下滑至最低點時的速度為v，則：v=

2gR

  ①
在最低點有：QvB-N=m

v2

R

由①知小球在最低點的速度v是一定的，要使Q最小，則必須N=0，設(shè)此時的油滴電量為Q₀，即 Q₀vB=m

v2

R

  ②
聯(lián)解①、②得帶電量至少為 Q₀=

m 2gR

BR

，
由左手定則判斷知：小球帶正電．
（2）設(shè)小球在與過圓心的豎直半徑成θ角處離開球面，此刻速度為v₁
則在此處有：mgcosθ-N=m

v 2 1

R

  ①
小球在離開球面處有  N=0  ②
又據(jù)機(jī)械能守恒定律：mgR（1-cosθ）=

1

2

m

v

2 1

  ③
聯(lián)解①②③得：cosθ=

2

3

即：θ=arccos

2

3

         
當(dāng)小球滑至與球心連線與豎直方向成cos^-1

2

3

角的位置時離開軌道．
答：
（1）小球帶正電，電量至少

m 2gR

BR

，
（2）如果去掉磁場，而其它條件不變，當(dāng)小球滑至與球心連線與豎直方向成cos^-1

2

3

角的位置時離開軌道．

點評：本題的解題關(guān)鍵是確定臨界條件：當(dāng)小球剛離開軌道時，支持力為零，再根據(jù)牛頓第二定律、機(jī)械能守恒和向心力進(jìn)行求解．