Question

19．如圖所示，兩根相距為L的金屬軌道固定于水平面上，導軌電阻不計；一根質量為m、長為L、單位長度電阻為R的金屬棒兩端放于導軌上，導軌與金屬棒間的動摩擦因數(shù)為μ，棒與導軌的接觸電阻不計．導軌左端連有阻值為2R的電阻．軌道平面上有n段豎直向下的寬度為a間距為b的勻強磁場（a＞b），磁感應強度為B．金屬棒初始位于OO′處，與第一段磁場相距2a．求：
（1）若金屬棒有向右的初速度v₀，為使金屬棒保持v₀的速度一直向右穿過各磁場，需對金屬棒施加一個水平向右的拉力．求金屬棒不在磁場中時受到的拉力F₁和在磁場中時受到的拉力F₂的大��；
（2）在（1）的情況下，求金屬棒從OO′開始運動到剛離開第n段磁場過程中，拉力所做的功；
（3）若金屬棒初速度為零，現(xiàn)對其施以水平向右的恒定拉力F，使棒進入各磁場的速度都相同，求金屬棒從OO′開始運動到剛離開第n段磁場整個過程中導軌左端電阻上產生的熱量．

Answer 1

分析 （1）金屬棒在進入磁場前，不受安培力作用，勻速運動時，拉力與摩擦力平衡；在進入磁場后，金屬棒切割磁感線，產生感應電流，勻速運動時，拉力與摩擦力和安培力平衡．根據(jù)平衡條件和電磁感應知識，可求出拉力．
（2）利用功的公式，求出拉力做的總功．
（3）進入磁場前，拉力和摩擦力做功，根據(jù)動能定理，求出金屬棒進入磁場時的速度．進入在磁場時，拉力、摩擦力和安培力做功，根據(jù)能量守恒定律求出熱量

解答 解：（1）金屬棒保持v₀的速度做勻速運動．
金屬棒不在磁場中
F₁=f=μmg ①
金屬棒在磁場中運動時，電路中的感應電流為I，
F₂=f+BIL ②
由閉合電路歐姆定律
I=$\frac{E}{2R+RL}$=$\frac{BL{v}_{0}}{（2+L）R}$ ③
由②③可得
F₂=μmg+$\frac{BL{v}_{0}}{（2+L）R}$
（2）金屬棒在非磁場區(qū)拉力F₁所做的功為
W₁=F₁[2a+（n-1）b]=μmg[2a+（n-1）b]④
金屬棒在磁場區(qū)拉力F₂所做的功為
W₂=F₂na=（μmg+$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{（2+L）R}$）na
 故拉力做功為：W=W₁+W₂=μmg[2a+（n-1）b]+nF₂a=μmg[2a+（n-1）b]+（μmg+$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{（2+L）R}$）na
（3）金屬棒進入各磁場時的速度均相同，等于從OO’運動2a位移第一次進入磁場時的速度v₁，要保證金屬棒進入各磁場時的初速度都相同，金屬棒在磁場中做減速度運動，離開磁場后再做加速度運動．金屬棒每經(jīng)過一段磁場克服安培力所做的功都相同，設為W_電；棒離開每一段磁場時速度也相同，設為v₂．由動能定理有
F．a-μmg•a-W_電=$\frac{1}{2}$m${v}_{2}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$ ⑦
（F-μmg）b=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$ ⑧
由⑦⑧可得W_電=（F-μmg）（a+b）
Q_總=nW_電
整個過程中導軌左端電阻上產生的熱量為
Q=$\frac{2n{W}_{電}}{2+L}$=$\frac{2}{2+L}$n（F-μmg）（a+b）
答：（1）金屬棒不在磁場中時受到的拉力F₁為μmg，在磁場中時受到的拉力F₂的大小為μmg+$\frac{BL{v}_{0}}{（2+L）R}$；
（2）在（1）的情況下，求金屬棒從OO′開始運動到剛離開第n段磁場過程中，拉力所做的功為μmg[2a+（n-1）b]+（μmg+$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{（2+L）R}$）na；
（3）若金屬棒初速度為零，現(xiàn)對其施以水平向右的恒定拉力F，使棒進入各磁場的速度都相同，求金屬棒從OO′開始運動到剛離開第n段磁場整個過程中導軌左端電阻上產生的熱量為$\frac{2n{W}_{電}}{2+L}$=$\frac{2}{2+L}$n（F-μmg）（a+b）．

點評 本題分析受力是基礎，關鍵從能量轉化和守恒角度來求解，解題時要注意抓住使棒進入各磁場的速度都相同，以及通過每段磁場時電路中發(fā)熱量均相同的條件．