Question

如圖所示，ABMNCD為某個游戲場中的豎直固定軌道示意圖，水平直軌道MN與右邊半徑R=3m的3/4光滑圓弧軌道NCD底端相連接，水平直軌道左邊通過光滑曲線軌道BN與高為h=1m的平臺AB相連接，平臺AB長為1兩個可視為質點的小球，兩球質量均為0．lkg，開始時兩球緊靠在一起，若同時給a、b一個初動能，使a向左運動，b向右運動，a的初動能為E_ka=2.2J，b的初動能為E_kb=3.0J，設a、b與水平軌道、與平臺之間的動摩擦因數(shù)u均為0.2．為使a、b在以后的運動中不脫離平臺與軌道，可適當調節(jié)軌道MN的長度、小球a、b運動的初始位置．求
（1）符合要求的軌道MN的最短距離；
（2）在滿足（1）條件下，a、b兩球由于運動而損失的總機械能．

Answer 1

【答案】分析：（1）當a球向左運動時，恰好通過光滑曲線軌道BN到達平臺AB的左邊時，速度為零，動能轉化為重力勢能和摩擦生熱，根據(jù)能量守恒定律列式，求出aM距離．
b向右運動時，為了運動中不脫離軌道，最大高度在的圓周以下，然后返回，同樣當其通過光滑曲線軌道BN到達平臺AB的左邊速度為零時，所需軌道最短，對b球，根據(jù)能量守恒列式，求出bN，即可得到MN最短距離；
（2）初態(tài)時兩球的總動能與末態(tài)時兩球重力勢能之差，即為損失的總機械能．
解答：解：（1）當a球向左運動時，假設開始運動時到M點的距離x1，則當其恰好通過光滑曲線軌道BN到達平臺AB的左邊時，速度為零，根據(jù)能量守恒定律得
   mgh+μmg（x₁+1）=E_ka
得x₁===5m
b向右運動時，假設開始運動時到N的距離為x₂，為了運動中不脫離軌道，最大高度在的圓周以下，然后返回，
同樣當其通過光滑曲線軌道BN到達平臺AB的左邊速度為零時，所需軌道最短．
對b球，根據(jù)能量守恒得
   μmg（2x₂+x₁+1）+mgh=E_kb
解得，x₂==2m
則MN=x₁+x₂=7m
（2）a、b兩球由于運動而損失的總機械能為△E=E_ka+E_kb-2mgh=3.2J
答：
（1）符合要求的軌道MN的最短距離是7m；
（2）在滿足（1）條件下，a、b兩球由于運動而損失的總機械能是3.2J．
點評：本題的關鍵是分析什么條件下才能保證a、b在運動中不脫離平臺與軌道，根據(jù)能量守恒進行處理．