Question

如圖13-1所示，物體A從高h(yuǎn)的P處沿光滑曲面從靜止開始下滑，物體B用長為L的細(xì)繩豎直懸掛在O點(diǎn)且剛和平面上Q點(diǎn)接觸。已知mA=mB，高h(yuǎn)及S(平面部分長)。若A和B碰撞時(shí)無能量損失。

小題1:(1)若L≤h/4，碰后A、B各將做什么運(yùn)動(dòng)?
小題2:(2)若L=h，且A與平面的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，A、B可能碰撞幾次？A最終在何處？

Answer 1

小題1:A與B碰后，B必做圓周運(yùn)動(dòng)。因此(1)的解為：A與B碰后A停在Q處，B做圓周運(yùn)動(dòng)，經(jīng)一周后，B再次與A相碰，B停在Q處，A向右以速度做勻速直線運(yùn)動(dòng)。
小題2:(2)由上面分析可知，當(dāng)L=h時(shí)，A與B碰后，B只做擺動(dòng)，因水平面粗糙，所以A在來回運(yùn)動(dòng)過程中動(dòng)能要損失。設(shè)碰撞次數(shù)為n，由動(dòng)能定理可得：
　　 m_Agh-nμm_AgS="0" 所以n=h/μS
討論：若n為非整數(shù)時(shí)，相碰次數(shù)應(yīng)湊足整數(shù)數(shù)目。
　　 如n=1.2，則碰撞次數(shù)為兩次。
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，相碰次數(shù)為(n-1)次。如n=3，則相碰次數(shù)為兩次，且A球剛到達(dá)Q處將碰B而又未碰B；
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，相碰次數(shù)就是該偶數(shù)的數(shù)值，如n=4，則相碰次數(shù)為四次。球?qū)⑼Ｔ诰郆球S處的C點(diǎn)。A球停留位置如圖13-2所示

當(dāng)水平部分沒有摩擦?xí)r，A球下滑到未碰B球前能量守恒，與B碰撞因無能量損失，而且質(zhì)量相等，由動(dòng)量守恒和能量守恒可得兩球交換速度。A 停在Q處，B碰后可能做擺動(dòng)，也可能饒 O點(diǎn)在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)。如果做擺動(dòng)，則經(jīng)一段時(shí)間，B反向與A相碰，使A又回到原來高度，B停在Q處，以后重復(fù)以上過程，如此繼續(xù)下去，若B做圓周運(yùn)動(dòng)，B逆時(shí)針以O(shè)為圓心轉(zhuǎn)一周后與A相碰，B停在Q處，A向右做勻速運(yùn)動(dòng)。由此分析，我們可得本題的解如下：

小題1:(1)A與B碰撞前A的速度：mgh=mV_A²，V_A=
因?yàn)閙_A=m_B，碰撞無能量損失，兩球交換速度，得：V_A’=0，V_B’=V_A=
設(shè)B球到最高點(diǎn)的速度為Vc，B做圓周運(yùn)動(dòng)的臨界條件：m_Bg=m_BV²/L [1]
又因m_BV_B‘²=m_BV²+m_Bg2L [2]
將[1]式及V_B’=代入[2]式得：L=2h/5
即L≤2h/5時(shí)，A、B碰后B才可能做圓周運(yùn)動(dòng)。而題意為L=h/4＜2h/5，故A與B碰后，B必做圓周運(yùn)動(dòng)。因此(1)的解為：A與B碰后A停在Q處，B做圓周運(yùn)動(dòng)，經(jīng)一周后，B再次與A相碰，B停在Q處，A向右以速度做勻速直線運(yùn)動(dòng)。
小題2:(2)由上面分析可知，當(dāng)L=h時(shí)，A與B碰后，B只做擺動(dòng)，因水平面粗糙，所以A在來回運(yùn)動(dòng)過程中動(dòng)能要損失。設(shè)碰撞次數(shù)為n，由動(dòng)能定理可得：
　　 m_Agh-nμm_AgS="0" 所以n=h/μS
討論：若n為非整數(shù)時(shí)，相碰次數(shù)應(yīng)湊足整數(shù)數(shù)目。
　　 如n=1.2，則碰撞次數(shù)為兩次。
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，相碰次數(shù)為(n-1)次。如n=3，則相碰次數(shù)為兩次，且A球剛到達(dá)Q處將碰B而又未碰B；
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，相碰次數(shù)就是該偶數(shù)的數(shù)值，如n=4，則相碰次數(shù)為四次。球?qū)⑼Ｔ诰郆球S處的C點(diǎn)。A球停留位置如圖13-2所示