Question

4．如圖所示，光滑水平軌道的左端與長(zhǎng)L=1.25m的水平傳送帶AB相接，傳送帶逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的速度v₀=1m/s，輕彈簧右端固定，彈簧處于自然狀態(tài)時(shí)左端恰位于A點(diǎn)，現(xiàn)用質(zhì)量m=0.4kg的小物塊（視為質(zhì)點(diǎn)）將彈簧壓縮后由靜止釋放，到達(dá)水平傳送帶左端B點(diǎn)后，立即沿切線(xiàn)進(jìn)入豎直固定的光滑半圓軌道最高點(diǎn)并恰好做圓周運(yùn)動(dòng)，經(jīng)圓周最低點(diǎn)C后滑上質(zhì)量為M=0.2kg的長(zhǎng)木板且不會(huì)從木板上掉下．半圓軌道的半徑R=0.5m，物塊與傳送帶間動(dòng)摩擦因數(shù)μ₁=0.8，物塊與木板間動(dòng)摩擦因數(shù)μ₂=0.2，長(zhǎng)木板與水平地面間動(dòng)摩擦因數(shù)μ₃=0.1，g取10m/s²．求：
（1）物塊到達(dá)B點(diǎn)時(shí)速度v_B的大�。ńY(jié)果可帶根號(hào)）；
（2）彈簧被壓縮時(shí)的彈性勢(shì)能E_P；
（3）長(zhǎng)木板在水平地面上滑行的最大距離x．（此問(wèn)結(jié)果保留兩位小數(shù)）

Answer 1

分析 （1）據(jù)物體在B點(diǎn)恰好做圓周運(yùn)動(dòng)，由重力充當(dāng)向心力，利用牛頓第二定律列方程求解．
（2）抓住物塊在B點(diǎn)的速度大于傳送帶的速度，可知物塊在傳送帶上一直做勻減速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)動(dòng)能定理求出A點(diǎn)的速度，結(jié)合能量守恒定律求出彈簧的彈性勢(shì)能．
（3）從B到C根據(jù)動(dòng)能定理求得C點(diǎn)的速度，木塊到達(dá)木板受，木塊做減速運(yùn)動(dòng)，木板做加速運(yùn)動(dòng)，兩者達(dá)到共同速度后，一起做減速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式即可求得

解答 解：（1）物體在光滑半圓軌道最高點(diǎn)恰好做圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律得：mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$①
可得 v_B=$\sqrt{gR}=\sqrt{10×0.5}m/s=\sqrt{5}m/s$ ②
（2）物塊被彈簧彈出的過(guò)程中，物塊和彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，則
彈簧被壓縮時(shí)的彈性勢(shì)能 E_p=$\frac{1}{2}{mv}_{A}^{2}$③
因v_B＞v₀=1m/s，則物體在傳送帶上一直做勻減速運(yùn)動(dòng)
物塊在傳送帶上滑行過(guò)程由動(dòng)能定理得
-f₁L=$\frac{1}{2}{mv}_{B}^{2}-\frac{1}{2}{mv}_{A}^{2}$ ④
又 f₁=μ₁mg=0.8×0.4×10N=3.2N ⑤
聯(lián)立②③④⑤解得：E_p=5J
（3）物體從B到C過(guò)程中有機(jī)械能守恒定律得$mg•2R=\frac{1}{2}{mv}_{C}^{2}-\frac{1}{2}{mv}_{B}^{2}$
聯(lián)立解得v_C=5m/s
物塊在長(zhǎng)木板上滑行的過(guò)程中，做勻減速運(yùn)動(dòng)，有牛頓第二定律可知μ₂mg=ma₁
解得${a}_{1}=2m/{s}^{2}$
對(duì)長(zhǎng)木板受力分析可知μ₂mg-μ₁（M+m）g=Ma₂，解得${a}_{2}=1m/{s}^{2}$
經(jīng)過(guò)ts達(dá)到共同速度v_D，則v_C-a₁t=a₂t，解得$t=\frac{5}{3}s$，${v}_{D}=\frac{5}{3}m/s$
ts內(nèi)長(zhǎng)木板通過(guò)的位移為${x}_{1}=\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}=\frac{25}{18}m$
達(dá)到共同速度后，兩物體一起勻加速運(yùn)動(dòng)，有動(dòng)能定理可知$-{μ}_{3}（M+m）g{x}_{2}=-\frac{1}{2}（M+m{）v}_{D}^{2}$
解得${x}_{2}=\frac{25}{18}m$
通過(guò)的總位移為x=x₁+x₂=2.78m
答：（1）物塊到達(dá)B點(diǎn)時(shí)速度v_B的大小為$\sqrt{5}$m/s；
（2）彈簧被壓縮時(shí)的彈性勢(shì)能E_P為5J
（3）長(zhǎng)木板在水平地面上滑行的最大距離x為2.78m

點(diǎn)評(píng) 分析清楚滑塊的運(yùn)動(dòng)情況和受力情況是解題的關(guān)鍵，據(jù)受力情況判斷滑塊的運(yùn)動(dòng)是解題的核心，靈活利用牛頓運(yùn)動(dòng)定律、動(dòng)能定理和能量守恒定律，動(dòng)量守恒定律進(jìn)行求解．