Question

13．“嫦娥四號(hào)”（專(zhuān)家稱(chēng)為“四號(hào)星”），計(jì)劃在今年發(fā)射升空，它是嫦娥探月工程計(jì)劃中嫦娥系列的第四顆人造探月衛(wèi)星，主要任務(wù)是更加全面、深層次地科學(xué)探測(cè)月球地貌、資源等方面的信息．如圖所示，若“四號(hào)星”在半徑為r的圓周軌道上繞月運(yùn)行，t時(shí)間內(nèi)通過(guò)的弧長(zhǎng)為s．已知引力常量為G，月球表面的重力加速度為g_月，下列說(shuō)法正確的是（　�。�

• A． 月球的第一宇宙速度為$\sqrt{{g}_{月}r}$
• B． 可算出月球質(zhì)量為$\frac{{s}^{2}r}{G{t}^{2}}$
• C． “四號(hào)星”的角速度為$\sqrt{\frac{{g}_{月}}{r}}$
• D． “四號(hào)星”的周期為2π$\sqrt{\frac{r}{{g}_{月}}}$

Answer 1

分析 首先由月球表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體求得第一宇宙速度；然后根據(jù)“四號(hào)星”的周期求得月球質(zhì)量及角速度．

解答 解：A、月球表面物體以萬(wàn)有引力做向心力做圓周運(yùn)動(dòng)的速率即為月球的第一宇宙速度，故設(shè)月球質(zhì)量為M，半徑為R，則有：$\frac{GMm}{{R}^{2}}=m{g}_{月}=\frac{m{v}^{2}}{R}$；所以，$v=\sqrt{{g}_{月}R}$，故A錯(cuò)誤；
B、若“四號(hào)星”在半徑為r的圓周軌道上繞月運(yùn)行，t時(shí)間內(nèi)通過(guò)的弧長(zhǎng)為s，故周期$T=\frac{2πr}{s}t$；
又有萬(wàn)有引力做向心力，所以，$\frac{GMm}{{r}^{2}}=m{ω}^{2}r=m（\frac{2π}{T}）^{2}r$，所以，$M=（\frac{2π}{T}）^{2}\frac{{r}^{3}}{G}=（\frac{s}{rt}）^{2}\frac{{r}^{3}}{G}=\frac{{s}^{2}r}{G{t}^{2}}$，故B正確；
CD、由B可得“四號(hào)星”的角速度$ω=\sqrt{\frac{GM}{{r}^{3}}}=\sqrt{\frac{{g}_{月}{R}^{2}}{{r}^{3}}}$，$T=\frac{2π}{ω}=2π\(zhòng)sqrt{\frac{{r}^{3}}{{g}_{月}{R}^{2}}}$故CD錯(cuò)誤；
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 萬(wàn)有引力的應(yīng)用問(wèn)題，一般由萬(wàn)有引力做向心力求解速度、角速度、周期與半徑的關(guān)系．