Question

4．如圖所示，一根自然長度為l₀，勁度系數為k的輕彈簧一端固定于水平光滑平板上的O點，另一端連接一個質量為m的小球（可視為質點）．現將平板以過O點的水平軸在豎直平面內逆時針緩慢轉動，直到平板變?yōu)樨Q直狀態(tài)．若彈簧始終處在彈性限度內，則此過程中（　�。�

• A． 球的豎直高度一定不斷增大
• B． 球的豎直高度可能不斷增大
• C． 對確定的彈簧，則球的質量足夠大時，總能使球的豎直高度先增大后減小
• D． 球的豎直高度變化情況僅與球的質量有關，而與彈簧的自然長度無關

Answer 1

分析 將平板以O為轉軸在豎直平面內逆時針緩慢轉動，直至平板變?yōu)樨Q直狀態(tài)，小球始終處于平衡狀態(tài)，抓住小球重力沿斜面方向上的分力與彈簧彈力大小相等，得出形變量的變化，從而得出高度的關系式，通過關系式判斷高度的變化．

解答 解：設轉過的角度為θ，則mgsinθ=kx，則彈簧的形變量為：x=$\frac{mgsinθ}{k}$．
球的高度為：h=（l₀-x）sinθ=$（{l}_{0}-\frac{mgsinθ}{k}）sinθ$=$-\frac{mg}{k}（sinθ-\frac{k{l}_{0}}{2mg}）^{2}$$+\frac{{kl}_{0}^{2}}{4mg}$．因為sinθ＜1．
所以當彈簧的長度l₀一定，則球的質量m足夠大時，$\frac{k{l}_{0}}{2mg}$＜1，則h先增大后減�。�
當球的質量m一定，則彈簧的長度l₀足夠小時，$\frac{k{l}_{0}}{2mg}$＜1，則h先增大后減�。�故C正確，ABD錯誤．
故選：C

點評 本題對數學能力的要求較高，通過二次函數的方法并對sinθ的討論得出高度的變化．