Question

如圖所示，質(zhì)量為m的小球用長(zhǎng)度為L(zhǎng)的輕質(zhì)細(xì)繩懸掛于O點(diǎn)，現(xiàn)將它拉至A處，使細(xì)繩與豎直方向的夾角為θ（θ＜5°），然后無(wú)初速釋放，不計(jì)空氣阻力作用，它經(jīng)過(guò)一段時(shí)間第一次到達(dá)最低點(diǎn)B．
求：（1）所經(jīng)歷的時(shí)間t
（2）該過(guò)程中重力產(chǎn)生的沖量大小I_G
（3）該過(guò)程中小球的動(dòng)量變化△P
（4）該過(guò)程中繩的拉力產(chǎn)生的沖量大小I_F．

Answer 1

分析：1、由A到B做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，由A第一次到B，小球所用時(shí)間是四分之一周期，根據(jù)單擺的周期公式可求得時(shí)間．
2、重力是恒力，故可以直接運(yùn)用沖量的定義式計(jì)算：I_G=mgt，把上一問(wèn)中的時(shí)間代入即可．
3、從A到B，運(yùn)用動(dòng)能定理

1

2

m

v

2 B

=mgL（1-cosθ），計(jì)算出到達(dá)B點(diǎn)的速度v，再根據(jù)：△P=P_B-P_A=mv計(jì)算即可．
4、從A到B的過(guò)程中，根據(jù)動(dòng)量定理有

IG

+

IF

=

△P

．動(dòng)量的改變量方向水平，重力的沖量方向向下，所以I_G、I_F、△P剛好構(gòu)成直角三角形，I_G、△P為兩個(gè)直角邊，I_F為斜邊，根據(jù)勾股定理有IF2=△P2+IG2，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可．

解答：解：（1）由單擺的周期公式可得：
T=2π

L g

--------------------------------①
由A第一次到B，小球所用時(shí)間是四分之一周期，即：t=

1

4

T=

π

2

L g

------②
（2）由于重力是恒力，由沖量定義可知重力的沖量為：I_G=mgt=

1

2

πm

Lg

----------------③
（3）動(dòng)量的變化等于末動(dòng)量減去初動(dòng)量：△P=P_B-P_{A------------------------------}④
又P_A=0--------------------------------⑤
P_B=mv_B---------------------------------⑥
從A到B的過(guò)程中，由機(jī)械能守恒定律得：

1

2

m

v

2 B

=mgL（1-cosθ）--------------⑦
由④⑤⑥⑦，可解得：△P=m

2gL(1-cosθ)

------------------⑧
（1）從A到B的過(guò)程中，小球在重力和繩的拉力的沖量作用下，動(dòng)量的改變量為△P，且方向水平，又因重力的沖量方向向下，所以由矢量的合成法則得：
IF2=△P2+IG2----------------------------⑨
由③⑧⑨式得：I_F=m

2gL(1-cosθ)+ π2 4 gL

．
答：（1）所經(jīng)歷的時(shí)間t為

π

2

L g

．
（2）該過(guò)程中重力產(chǎn)生的沖量大小I_G為

1

2

πm

Lg

．
（3）該過(guò)程中小球的動(dòng)量變化△P為m

2gL(1-cosθ)

．
（4）該過(guò)程中繩的拉力產(chǎn)生的沖量大小I_F為m

2gL(1-cosθ)+ π2 4 gL

．

點(diǎn)評(píng)：本題的關(guān)鍵是要知道小球在重力和繩的拉力的沖量作用下，動(dòng)量的改變量方向水平，重力的沖量方向向下，所以I_G、I_F、△P剛好構(gòu)成直角三角形，I_G、△P為兩個(gè)直角邊，I_F為斜邊，根據(jù)勾股定理有IF2=△P2+IG2．