Question

如圖所示，水平桌面上有一輕彈簧，左端固定在A點，自然狀態(tài)時其右端位于B點．水平桌面右側(cè)有一豎直放置的光滑軌道MNP，其形狀為半徑R=0.8m的圓環(huán)剪去了左上角135°的圓弧，MN為其豎直直徑，P點到桌面的豎直距離也是R．用質(zhì)量m=0.2kg的物塊將彈簧緩慢壓縮到C點，BC間光滑，由靜止釋放，物塊過B點后其位移與時間的關(guān)系為x=6t-2t²，物塊飛離桌面后由P點沿切落入圓軌道．g=10m/s²，求：
（1）物體在BD間運動的初速度和加速度；
（2）BP間的水平距離；
（3）判斷m能否沿圓軌道到達M點，為什么？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)物塊過B點后其位移與時間的關(guān)系得出初速度和加速度．進而根據(jù)位移-速度公式求出位移；
（2）物塊離開D點做平拋運動，由P點沿圓軌道切線落入圓軌道，知道了到達P點的速度方向，將P點的速度分解為水平方向和豎直方向，根據(jù)豎直方向上做自由落體運動求出豎直分速度，再根據(jù)角度關(guān)系求出水平分速度，即離開D點時的速度v_D．
（3）物塊在內(nèi)軌道做圓周運動，在最高點有臨界速度，則mg=m

v2

R

，根據(jù)機械能守恒定律，求出M點的速度，與臨界速度進行比較，判斷其能否沿圓軌道到達M點．

解答：解：（1）根據(jù)物塊過B點后其位移與時間的關(guān)系為x=6t-2t²，有：
在桌面上過B點后初速v₀=6m/s，加速度a=-4m/s²，負(fù)號代表方向與速度方向相反．
（2）設(shè)物塊由D點以v_D做平拋，
落到P點時其豎直速度為v_y=

2gR

 
根據(jù)幾何關(guān)系有：

vy

vD

=tan45°
解得v_D=4m/s
平拋運動的時間t=

2R g

=0.4s
所以DP間的水平距離x=v_Dt=4×0.4m=1.6m．
BD間位移為 sBD=

v 2 D -v 2 0

2a

=2.5m
BP間的水平距離x=2.5+1.6=4.1m
（3）設(shè)物塊到達M點的臨界速度為v_m，有：
mg=m

v 2 M

R

v_M=

gR

=2

2

m/s
由機械能守恒定律得：

1

2

mv′2=

1

2

mvD2-

2

2

mgR 
解得：v′=

16-8 2

m/s
因為

16-8 2

＜2

2

所以物塊不能到達M點．
答：（1）物體在BD間運動的初速度是6m/s和加速度大小是4m/s²，方向與速度方向相反．
（2）BP間的水平距離是4.1m；
（3）m不能否沿圓軌道到達M點．

點評：該題涉及到多個運動過程，主要考查了機械能守恒定律、平拋運動基本公式、圓周運動向心力公式的應(yīng)用，用到的知識點及公式較多，難度較大，屬于難題．