Question

如圖所示，兩根相距為d的足夠長的平行金屬導(dǎo)軌位于水平的xy平面內(nèi)，一端接有阻值為R的電阻．在x＞0的一側(cè)存在沿垂直紙面方向的均勻磁場，磁感強度B隨x的增大而增大，B=kx，式中的k是一常量，一金屬直桿與金屬導(dǎo)軌垂直，可在導(dǎo)軌上無摩擦的滑動，當(dāng)t=0時位于x=0處，速度為v₀，方向沿x軸的正方向．在運動過程中，有一大小可調(diào)節(jié)的外力F作用于金屬桿以保持金屬桿的加速度恒定，大小為a，方向沿x軸的負(fù)方向．設(shè)除外接的電阻R外，所有其它電阻都可以忽略．
問：（1）該回路中的感應(yīng)電流持續(xù)的時間多長？
?（2）當(dāng)金屬桿的速度大小為v₀/2時，回路中的感應(yīng)電動勢有多大？

Answer 1

分析：（1）回路中有感應(yīng)電流的時間是向右做勻減速直線運動到零然后返回做勻加速直線運動到離開磁場的時間，結(jié)合運動學(xué)公式求出感應(yīng)電流持續(xù)的時間．
（2）根據(jù)勻變速直線運動的速度位移公式求出速度減為

1

2

v0經(jīng)過的位移，從而得出此時的磁感應(yīng)強度大小，結(jié)合切割產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢公式求出回路中的感應(yīng)電動勢大小．

解答：解：（1）金屬桿在導(dǎo)軌上先是向右做加速度為a的勻減速直線運動，運動到導(dǎo)軌右方最遠(yuǎn)處速度為零．然后，又沿導(dǎo)軌向左做加速度為a的勻加速直線運動．當(dāng)過了原點O后，由于已離開了磁場區(qū)，故回路中不再有感應(yīng)電流．因而該回路中感應(yīng)電流持續(xù)的時間就等于金屬桿從原點O向右運動到最遠(yuǎn)處，再從最遠(yuǎn)處向左運動回到原點O的時間，這兩段時間是相等的．以t₁表示金屬桿從原點O到右方最遠(yuǎn)處所需的時間，則由運動學(xué)公式得　v₀-at₁=0，
?由上式解出t₁，就得知該回路中感應(yīng)電流持續(xù)的時間　T=

2v0

a

．
?（2）以x₁表示金屬桿的速度變?yōu)関₁=

1

2

v₀時它所在的x坐標(biāo)，對于勻減速直線運動有
?v₁²=v₀²-2ax₁，
?以v₁=

1

2

v₀代入就得到此時金屬桿的x坐標(biāo)，即
?x₁=

3v02

8a

．
?由題給條件就得出此時金屬桿所在處的磁感應(yīng)強度B₀=

3kv02

8a

?因而此時由金屬桿切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢
?E₁=B₀v₁l=

3kv03d

16a

．
答：（1）該回路中的感應(yīng)電流持續(xù)的時間為

2v0

a

．
（2）回路中的感應(yīng)電動勢為

3kv03d

16a

．

點評：解決本題的關(guān)鍵知道回路中有感應(yīng)電流的過程，結(jié)合切割產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢公式、運動學(xué)公式進(jìn)行求解．