Question

14．將一個物體以初速度v₀從地面豎直向上拋出，設(shè)物體在運動過程中所受空氣阻力大小恒為f，求物體
（1）上升時的加速度大小
（2）下降時的加速度大小
（3）回到拋出點的時間
（4）作出全過程的速度-時間圖象．

Answer 1

分析 （1）（2）根據(jù)物體受重力和阻力作用，由牛頓第二定律求出上升過程中和下降過程中的加速度大��；
（3）由速度時間公式求出上升過程時間，根據(jù)速度位移公式求出上升的最大高度，根據(jù)速度位移公式求出落回地面的速度，由速度時間公式求出時間，回到拋出點的時間即為兩者之和；
（4）根據(jù)速度位移公式求出落回地面的速度，在最高點速度為0，選點作圖即可．

解答 解：設(shè)物體的質(zhì)量為m，上升和下降的加速度分別為：a₁、a₂，上升的最大高度為h，落回地面的速度為v
（1）上升過程中，物體受重力，方向豎直向下；受阻力，方向豎直向下，由牛頓第二定律得：
mg+f=ma₁
解得：a₁=$g+\frac{f}{m}$
（2）下降過程中，物體受阻力，豎直向上，由牛頓第二定律得：mg-f=ma₂
解得：a₂=g-$\frac{f}{m}$
（3）上升過程中時間：${t}_{1}=\frac{{v}_{0}-0}{{a}_{1}}$=$\frac{{v}_{0}}{{a}_{1}}$=$\frac{m{v}_{0}}{mg+f}$，
上升最大高度：h=$\frac{{{0-v}_{0}}^{2}}{-{2a}_{1}}=\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2{a}_{1}}=\frac{m{v}_{{0}^{2}}}{2（mg+f）}$
落回地面的速度滿足：v²=2a₂h
解得：v=${v}_{0}\sqrt{\frac{mg-f}{mg+f}}$
則下落時間為：${t}_{2}=\frac{v}{{a}_{2}}=\frac{{v}_{0}\sqrt{\frac{mg-f}{mg+f}}}{g-\frac{f}{m}}=\frac{m{v}_{0}}{\sqrt{（mg+f）（mg-f）}}$
則總時間：t=t₁+t₂=$\frac{m{v}_{0}}{mg+f}+\frac{m{v}_{0}}{\sqrt{（mg+f）（mg-f）}}$
（4）全過程的速度-時間圖象為：

答：（1）上升時的加速度大小為$g+\frac{f}{m}$；
（2）下降時的加速度大小為g-$\frac{f}{m}$；
（3）回到拋出點的時間為$\frac{m{v}_{0}}{mg+f}+\frac{m{v}_{0}}{\sqrt{（mg+f）（mg-f）}}$；
（4）全過程的速度-時間圖象如圖所示．

點評 本題考查有阻力的上拋運動，需要考慮阻力在上升和下降過程中的方向．