Question

4．如圖所示，在坐標(biāo)系xOy內(nèi)有一半徑為a的圓形區(qū)域，圓心坐標(biāo)為O₁（a，0），圓內(nèi)分布有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．在直線y=a的上方和直線x=2a的左側(cè)區(qū)域內(nèi)，有一沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)大小為E．一質(zhì)量為m、電荷量為+q（q＞0）的粒子以速度v從O點(diǎn)垂直于磁場(chǎng)方向射入，當(dāng)速度方向?yàn)閤軸正方向時(shí)，粒子恰好從O₁點(diǎn)正上方的A點(diǎn)射出磁場(chǎng)，不計(jì)粒子重力．
（1）求磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小；
（2）粒子在第一象限內(nèi)運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)的位置坐標(biāo)；
（3）求粒子從射入磁場(chǎng)到最終離開(kāi)磁場(chǎng)的時(shí)間t．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)幾何關(guān)系先得到圓心、半徑，再根據(jù)洛倫茲力提供向心力列式求解B；
（2）粒子離開(kāi)磁場(chǎng)后，進(jìn)入電場(chǎng)，根據(jù)動(dòng)能定理列式求解粒子在電場(chǎng)中的位移，從而得到最高點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，先得到第一次圓心和射出點(diǎn)，進(jìn)入電場(chǎng)后，又沿原路返回，再得到第二次圓心和射出點(diǎn)，最后得到總時(shí)間．

解答 解：（1）設(shè)粒子在磁場(chǎng)中做圓運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑為R，根據(jù)牛頓第二定律，有
  qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
粒子自A點(diǎn)射出，由幾何知識(shí)得：R=a
解得  B=$\frac{mv}{qa}$
即磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小為$\frac{mv}{qa}$．
（2）粒子從A點(diǎn)向上在電場(chǎng)中做勻減運(yùn)動(dòng)，設(shè)在電場(chǎng)中減速的距離為y
由動(dòng)能定理，得到-Eqy=0-$\frac{1}{2}$mv²；
解得y=$\frac{m{v}^{2}}{2qE}$
故粒子在第一象限內(nèi)運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)的位置坐標(biāo)為[a，（a+$\frac{m{v}^{2}}{2qE}$）]
（3）畫(huà)出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖．
粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 t_B=$\frac{1}{2}T$=$\frac{1}{2}•\frac{2πa}{v}$=$\frac{πa}{v}$
在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 t_E=2$•\frac{v}{\frac{qE}{m}}$=$\frac{2mv}{qE}$
故粒子從射入磁場(chǎng)到最終離開(kāi)磁場(chǎng)的時(shí)間 t=t_B+t_E=$\frac{πa}{v}$+$\frac{2mv}{qE}$
答：
（1）磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小是$\frac{mv}{qa}$；
（2）粒子在第一象限內(nèi)運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)的位置坐標(biāo)是[a，（a+$\frac{m{v}^{2}}{2qE}$）]；
（3）求粒子從射入磁場(chǎng)到最終離開(kāi)磁場(chǎng)的時(shí)間t是$\frac{πa}{v}$+$\frac{2mv}{qE}$．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵先確定圓心、半徑，然后根據(jù)洛倫茲力提供向心力列式求解；第三問(wèn)關(guān)鍵先根據(jù)題意，分析后畫(huà)出物體的運(yùn)動(dòng)軌跡，然后再列式計(jì)算．