Question

4．如圖所示，AB為傾角θ=37°的斜面軌道，軌道的AC部分光滑、CB部分粗糙，．BP為圓心角等于143°、半徑R=1m的豎直光滑圓弧形軌道，兩軌道相切于B點(diǎn)，P、O兩點(diǎn)在同一豎直線上，輕彈簧一端固定在A點(diǎn)，另一自由端在斜面上C點(diǎn)處，有質(zhì)量m=2kg的小物塊（視為質(zhì)點(diǎn)）在外力作用下將彈簧緩慢壓縮到D點(diǎn)后（不栓接）由靜止釋放，物塊以v_C=12m/s的速度經(jīng)過(guò)C點(diǎn)，物塊第一次經(jīng)過(guò)B點(diǎn)后恰能到達(dá)P點(diǎn)；其中物塊與CB部分的滑動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.25，sin37°=0.6，cos37°=0.8，g取10m/s²．求：
（1）若x_CD=1m，試求物塊從D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的過(guò)程中，彈簧對(duì)物塊所做的功；
（2）B、C兩點(diǎn)間的距離x_BC；
（3）若在P處安裝一個(gè)豎直彈性擋板，物塊與擋板碰撞時(shí)間極短且無(wú)機(jī)械能損失，物塊與彈簧相互作用不損失機(jī)械能，通過(guò)計(jì)算判斷物塊在第一次與擋板碰撞后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中是否會(huì)脫離軌道？物塊第一次與擋板碰撞后到第二次上滑到最高點(diǎn)的過(guò)程中摩擦生熱為多少？

Answer 1

分析 （1）物塊從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)過(guò)程中，根據(jù)動(dòng)能定理列式，可以求出彈簧對(duì)物塊所做的功．
（2）物塊恰能到達(dá)P點(diǎn)，由重力提供向心力，由牛頓第二定律求出物塊通過(guò)P點(diǎn)的速度．從C點(diǎn)到P點(diǎn)過(guò)程，利用動(dòng)能定理求B、C兩點(diǎn)間的距離x_BC．
（3）根據(jù)動(dòng)能定理判斷物體能否返回時(shí)回到與O點(diǎn)等高的位置，若不能回到等高的位置，則小球?qū)⒉粫?huì)脫離軌道．根據(jù)能量守恒定律求摩擦生熱．

解答 解：（1）設(shè)彈簧對(duì)物塊所做的功為W，物塊從D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的過(guò)程中；
由動(dòng)能定理得：W-mgsin37°•x_CD=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
代入數(shù)據(jù)得：W=156J
（2）物塊恰能到達(dá)P點(diǎn)，物塊在P點(diǎn)有：mg=m$\frac{{v}_{P}^{2}}{R}$     
從C點(diǎn)到P點(diǎn)過(guò)程，由動(dòng)能定理有：
-mgsin37°•x_BC-μmgcos37°•x_BC-mgR（1+cos37°）=$\frac{1}{2}m{v}_{P}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$         
解得 x_BC=$\frac{49}{8}$m=6.125m                
（3）由于斜面有摩擦作用，物塊與擋板碰后一定不能返回P點(diǎn)，若物塊到達(dá)與O點(diǎn)等高的位置Q點(diǎn)時(shí)速度不為0，則物塊會(huì)脫離軌道．設(shè)物塊第一次從圓弧軌道返回并與彈簧相互作用后，回到與O點(diǎn)等高的位置Q點(diǎn)的速度為v_Q；
由動(dòng)能定理得  mgR-2μmgcos37°•x_BC=$\frac{1}{2}m{v}_{Q}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{P}^{2}$
解得 ${v}_{Q}^{2}$=-19＜0                                         
所以物塊返回后不能到達(dá)Q點(diǎn)，故物塊在以后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不會(huì)脫離軌道．
設(shè)物塊與擋板碰撞后第二次上滑到最高點(diǎn)距C點(diǎn)的距離為x，由動(dòng)能定理得：
  mg[R（1+cos37°）+（x_BC-x）sin37°]-μmgcos37°•（x_BC+x）=0-$\frac{1}{2}m{v}_{P}^{2}$
解得  x=$\frac{95}{16}$J=5.9375m＜x_BC                                         
在這一過(guò)程中，摩擦生熱 Q=μmgcos37°•（x_BC+x）=$\frac{193}{4}$J=48.25J
答：
（1）若x_CD=1m，試求物塊從D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的過(guò)程中，彈簧對(duì)物塊所做的功是156J；
（2）B、C兩點(diǎn)間的距離x_BC是6.125m；     
（3）物塊在以后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不會(huì)脫離軌道，摩擦生熱為48.25J．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了動(dòng)能定理、機(jī)械能守恒定律以及牛頓第二定律，關(guān)鍵理清物體的運(yùn)動(dòng)情況，選擇合適的規(guī)律進(jìn)行求解．要知道摩擦生熱與總路程有關(guān)．