Question

如圖所示，平行板電容器的極板長(zhǎng)度L₁=1.6m、間距d=1m，加上U=300V的恒定電壓．距離極板右邊緣L₂處有一光屏P，在這個(gè)區(qū)域內(nèi)又有一垂直紙面向里的、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B=50T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)（上下無(wú)限）．現(xiàn)有一質(zhì)量m=1×10^-8kg，電量q=+1×10^-9C的微粒（不計(jì)重力），以v₀=8m/s的初速度從上金屬板附近水平射入，通過(guò)電容器后，再進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)B．取sin37°=0.6，cos37°=0.8．試求：
（1）微粒離開(kāi)電容器時(shí)的速度v的大小及方向；
（2）要微粒能打中光屏，則L₂的最大值L_2m．

Answer 1

分析：（1）、微粒子在電容器內(nèi)部運(yùn)動(dòng)時(shí)是類平拋運(yùn)動(dòng)，在水平方向是勻速直線運(yùn)動(dòng)，由已知條件可求出經(jīng)歷的時(shí)間，再由牛頓運(yùn)動(dòng)定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出豎直方向上的速度，由運(yùn)動(dòng)的合成求出微粒離開(kāi)電容器時(shí)的速度v的大小及方向．
（2）、做出微粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡與光屏相切的簡(jiǎn)圖，這是一個(gè)臨界狀態(tài)，確定此時(shí)的圓心和運(yùn)動(dòng)半徑，運(yùn)用在洛倫茲力作用下做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力公式和幾何關(guān)系，可求出L₂的最大距離．

解答：解：
（1）電荷射入電容器后做類平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律．
在水平方向上，電子通過(guò)電容器的時(shí)間為t=

L1

v0

=

1.6

8

=0.2s
在豎直方向上，電容器兩板間向下的電場(chǎng)強(qiáng)度為E=

U

d

電場(chǎng)力F=qE 
點(diǎn)電荷向下的加速度為a=

F

m

經(jīng)以上各式解得a=

qU

md

=30m/s² 
點(diǎn)電荷離開(kāi)金屬板時(shí)的豎直速度v_y=at=6m/s
點(diǎn)電荷離開(kāi)電容器時(shí)的速度大小vy=

v 2 0 + v 2 y

=10m/s
設(shè)與水平方向所夾的角θ，則tanθ=

vy

v0

=

3

4

所以，θ=37°
（2）點(diǎn)電荷進(jìn)入磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，若最后能打中光屏，則臨界條件是軌跡與光屏P相切于C點(diǎn)，如圖所示．
根據(jù)qvB=m

v2

R

得半徑R=

mv

qB

=2m
由幾何關(guān)系得L₂的最大長(zhǎng)度為
L_2m=Rsinθ+R=3.2m
答：（1）微粒離開(kāi)電容器時(shí)的速度v的大小為10m/s，方向與水平方向成37°角．
（2）要微粒能打中光屏，則L₂的最大值L_2m為3.2m

點(diǎn)評(píng)：粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)，常用分解的方法來(lái)解決，沿垂直于電場(chǎng)線方向（水平方向）和沿電場(chǎng)線方向（豎直方向）分解，有：

水平方向：勻速直線運(yùn)動(dòng)vx=v0，x=v0t 豎直方向：勻加速直線運(yùn)動(dòng)：vy=at，y= 1 2 at2

飛行時(shí)間：t= l v0 側(cè)移距離：y= 1 2 ( qU md )( l v0 )2  = qUl2 2m v 2 0 d 偏轉(zhuǎn)角度：tanθ= vy vx = at v0 = qUl m v 2 0 d

解答本題的另一關(guān)鍵問(wèn)題是確定帶電粒子在有邊界的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心和半徑．
①、圓心的確定：因?yàn)槁鍌惼澚μ峁┫蛐牧Γ�所以洛倫茲力總是垂直于速度的方向，�?huà)出帶電粒子運(yùn)動(dòng)軌跡中任意兩點(diǎn)（一般是射入磁場(chǎng)和射出磁場(chǎng)的兩點(diǎn)）洛倫茲力的方向，其延長(zhǎng)線的交點(diǎn)即為圓心．
②、半徑的確定：半徑一般都是在確定圓心的基礎(chǔ)上用平面幾何的知識(shí)求解，常常用到解三角形，尤其是直角三角形．