Question

一個(gè)質(zhì)量為m₁=1kg長(zhǎng)為L(zhǎng)=65m的木板在光滑的地面上以速度v₁=2m/s向右滑行，一個(gè)質(zhì)量為m₂=2kg的小木塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）向左以速度v₂=14m/s從木板的右端滑上，木塊和木板的摩擦系數(shù)是μ=0.1，滑行一段時(shí)間后木塊和木板達(dá)到共同速度，然后木板碰撞光滑半圓弧，碰后木板停止運(yùn)動(dòng)，木塊最終無(wú)能量損失地滑上圓弧．求：
（1）木板從開始到向右運(yùn)動(dòng)到最遠(yuǎn)點(diǎn)過(guò)程中系統(tǒng)產(chǎn)熱量．
（2）木板從開始到和木塊達(dá)到共同速度的過(guò)程中系統(tǒng)產(chǎn)熱量．
（3）若木塊滑上圓弧的過(guò)程中不脫離圓弧，求圓弧半徑r范圍．

Answer 1

分析：（1）木板從開始到向右運(yùn)動(dòng)到最遠(yuǎn)點(diǎn)過(guò)程中，此時(shí)木板的速度為零，根據(jù)系統(tǒng)的動(dòng)量守恒求出此時(shí)小木塊的速度．再根據(jù)系統(tǒng)的能量守恒列式求解此過(guò)程中產(chǎn)生的熱量．
（2）根據(jù)系統(tǒng)的動(dòng)量守恒求出共同速度，再運(yùn)用能量守恒列式求解此過(guò)程中產(chǎn)生的熱量．
（3）木塊滑上圓弧的過(guò)程中不脫離圓弧，有兩種可能：一種：木塊恰能上升到圓弧最高點(diǎn)，由重力提供向心力；另一種：木塊恰能上升到圓弧最左點(diǎn)．根據(jù)牛頓第二定律和機(jī)械能守恒列式求解．

解答：解：（1）木板向右運(yùn)動(dòng)到最遠(yuǎn)點(diǎn)時(shí)速度為0，系統(tǒng)動(dòng)量守恒（向左為正）：
  m₂v₂-m₁v₁=m₂ v₃，
解得：v₃=13m/s
系統(tǒng)能量守恒：

1

2

m₁v₁²+

1

2

m₂v₂²=

1

2

m₂v₃²+Q₁，
解得：Q₁=29J
（2）從開始到木塊和木板達(dá)到共同速度過(guò)程中，
動(dòng)量守恒：m₂v₂-m₁v₁=（m₁+m₂）v_共，
解得：v_共=8m/s
系統(tǒng)能量守恒：

1

2

m₁v₁²+

1

2

m₂v₂²=

1

2

（m₁+m₂）v_共²+Q₂，
解得：Q₂=102J
（3）Q₂=μm₂gs，
解得：s=51m．
從木板碰撞圓弧后到木塊剛滑上圓弧，系統(tǒng)能量守恒：

1

2

m₂v_共²=

1

2

m₂v₄²+μm₂g（L-s），
得：v₄=6m/s
情況一：木塊恰能上升到圓弧最高點(diǎn)
  m₂g=

m2v2

r1

 

1

2

m2v42=

1

2

m2v2+2m2gr1，
解得：r₁=0.72m
情況二：木塊恰能上升到圓弧最左點(diǎn)

1

2

m2v42=m2gr2，
解得：r₂=1.8m
綜上所述，半徑的取值范圍是r≤0.72m，或r≥1.8m．
答：
（1）木板從開始到向右運(yùn)動(dòng)到最遠(yuǎn)點(diǎn)過(guò)程中系統(tǒng)產(chǎn)熱量是29J．
（2）木板從開始到和木塊達(dá)到共同速度的過(guò)程中系統(tǒng)產(chǎn)熱量是102J．
（3）若木塊滑上圓弧的過(guò)程中不脫離圓弧，圓弧半徑r范圍是r≤0.72m，或r≥1.8m．

點(diǎn)評(píng)：分析清楚木塊與木板的運(yùn)動(dòng)過(guò)程、兩者間的位移關(guān)系是正確解題的前提，關(guān)鍵要知道木塊滑上圓弧的過(guò)程中不脫離圓弧有兩種可能情況．