Question

5．在xOy平面的第一、第四象限分別存在足夠大的勻強磁場和勻強電場，方向如圖所示，勻強磁場的磁感應強度為B，x軸為磁場和電場之間薄隔離層．離子源不斷產生質量為m、電荷量為q的帶負電的離子（初速度可以忽略，重力不計），經加速電場加速后，離子沿Ox方向從y軸上狹縫A射入勻強磁場，并垂直x軸進入電場區(qū)域，已知離子通過狹縫A時等效電流為I，OA間的距離為a，離子每次穿過隔層，運動方向不變，其動能損失是每次穿越前動能的20%，不計離子間的相互作用．

（1）某一離子第（N+1）次和第N次圓周運動半徑之比；
（2）單位時間內通過狹縫離子的總動能P；
（3）離子在磁場運動過程中的x坐標范圍．

Answer 1

分析 （1）離子每次穿過隔層，運動方向不變，其動能損失是每次穿越前動能的20%，故離子第（N+1）次和第N次圓周運動的動能之比為4：5，根據公式r=$\frac{mv}{qB}$分析軌道半徑之比；
（2）等效電流為I，故單位時間內通過狹縫離子的總電量為I，根據動能定理列式判斷其獲得的動能；
（3）粒子第一次進入磁場前的軌跡是$\frac{1}{4}$圓弧；此后進入電場后先減速后反向等速射入磁場，在磁場中軌跡是半圓；再次進入電場后先減速后反向等速射入磁場，在磁場中軌跡是半圓．

解答 解：（1）離子每次穿過隔層，動能損失是每次穿越前動能的20%，故離子第（N+1）次和第N次圓周運動的動能之比為4：5，速度之比為2：$\sqrt{5}$；
根據公式r=$\frac{mv}{qB}$，比荷和磁感應強度相同，故速度之比等于軌道半徑之比，故軌道半徑之比為：
$\frac{{r}_{N+1}}{{r}_{N}}=\frac{2}{\sqrt{5}}$=$\frac{2}{5}\sqrt{5}$=0.894
（2）等效電流為I，故單位時間內通過狹縫離子的總電量為：
q=I
根據動能定理，有：
qU=E_k
故單位時間內獲得的動能為UI；
（3）離子沿Ox方向從y軸上狹縫A射入勻強磁場，并垂直x軸進入電場區(qū)域，故軌道半徑為：
r=a
離子每次穿過隔層，動能損失是每次穿越前動能的20%，故離子第（N+1）次和第N次圓周運動的軌道半徑之比為0.894；
離子在磁場運動過程中的x坐標為：
x₁=a
x_N=a+2$（\frac{2}{5}\sqrt{5}）^{N-1}$a  （其中N=2，3，…）
答：在xOy平面的第一、第四象限分別存在足夠大的勻強磁場和勻強電場，方向如圖所示，勻強磁場的磁感應強度為B，x軸為磁場和電場之間薄隔離層．離子源不斷產生質量為m、電荷量為q的帶負電的離子（初速度可以忽略，重力不計），經加速電場加速后，離子沿Ox方向從y軸上狹縫A射入勻強磁場，并垂直x軸進入電場區(qū)域，已知離子通過狹縫A時等效電流為I，OA間的距離為a，離子每次穿過隔層，運動方向不變，其動能損失是每次穿越前動能的20%，不計離子間的相互作用．
答：（1）某一離子第（N+1）次和第N次圓周運動半徑之比為0.894；
（2）單位時間內通過狹縫離子的總動能P為UI；
（3）離子在磁場運動過程中的x坐標范圍為：x₁=a；x_N=a+2$（\frac{2}{5}\sqrt{5}）^{N-1}$a （其中N=2，3，…）．

點評 本題關鍵是明確粒子的受力情況和運動情況，會結合推論公式r=$\frac{mv}{qB}$和動能定理列式分析，基礎題目．