Question

（2012?徐匯區(qū)一模）如圖所示，質(zhì)量為m=5kg的擺球從圖中A位置由靜止開(kāi)始擺下，當(dāng)小球擺至豎直位置到達(dá)B點(diǎn)時(shí)繩子恰好被拉斷．已知擺線(xiàn)長(zhǎng)為L(zhǎng)=1.6m，OA與OB的夾角為60°，懸點(diǎn)O與地面間的距離h_OC=4m，若不計(jì)空氣阻力及一切能量損耗，g=10m/s²，求：
（1）小球擺到B點(diǎn)時(shí)的速度大�。�
（2）小球落地點(diǎn)D到C點(diǎn)之間的距離；
（3）若選用不同長(zhǎng)度的繩子進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，仍然保證OA與OB的夾角為60°，且繩子在處于豎直方向時(shí)拉斷，為了使小球的落點(diǎn)D與C之間的距離最遠(yuǎn)，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算求繩子的長(zhǎng)度和CD間最遠(yuǎn)距離．

Answer 1

分析：（1）小球下擺過(guò)程中，只有重力做功，根據(jù)動(dòng)能定理可求出到B點(diǎn)時(shí)小球的速度．
（2）到B點(diǎn)后，小球做平拋運(yùn)動(dòng)，由豎直高度求出平拋的時(shí)間，再求水平距離．
（3）根據(jù)動(dòng)能定理和平拋運(yùn)動(dòng)知識(shí)列出小球的落點(diǎn)D與C之間的距離x與繩長(zhǎng)l的函數(shù)關(guān)系式，由數(shù)學(xué)知識(shí)求解最大值．

解答：解：（1）設(shè)小球擺到B點(diǎn)的速度為v，由動(dòng)能定理得  
           mgL(1-cosθ)=

1

2

mv2
             得到  v=

2gL(1-cosθ)

=4m/s
    （2）小球從B點(diǎn)飛出后，做平拋運(yùn)動(dòng)，平拋的時(shí)間為t，
             則有h-L=

1

2

gt2
         水平方向，小球做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，則有x=vt
         故CD間的距離為        x=vt=4×0.8=3.2m
    （3）設(shè)繩子長(zhǎng)度為l，則由前兩問(wèn)可得CD間的距離
         x=vt=

2gl(1-cosθ)

?

2(h-l) g

=

2l(h-l)

        由均值定理可得，當(dāng)l=h-l即l=2.4m時(shí)，x有最大值
             代入即可得x=3.4m．  
答：（1）小球擺到B點(diǎn)時(shí)的速度大小0 4m/s；
    （2）小球落地點(diǎn)D到C點(diǎn)之間的距離為3.2m；
    （3）繩長(zhǎng)為2.4m時(shí)，CD間距離最遠(yuǎn)，為3.4m．

點(diǎn)評(píng)：本題第（3）問(wèn)中通過(guò)列出函數(shù)與自變量的函數(shù)關(guān)系式，通過(guò)數(shù)學(xué)知識(shí)求極值，是物理上求極值常用的方法之一．