Question

4．已知人造航天器在某行星表面上空繞行星做勻速圓周運動，繞行方向與行星自轉(zhuǎn)方向相同（人造航天器周期小于行星的自轉(zhuǎn)周期），經(jīng)過時間t（t小于航天器的繞行周期），航天器運動的弧長為s，航天器與行星的中心連線掃過角度為θ，引力常量為G，航天器上的人兩次相鄰看到行星赤道上的標志物的時間間隔是△t，這個行星的同步衛(wèi)星的離行星的球心距離（　�。�

• A． $\frac{s△t}{（2πt-θ△t）}$
• B． $\frac{s△t}{（θ△t-2πt）}$
• C． $\frac{s}{θ}\root{3}{{\frac{{{θ^2}△{t^2}}}{{{{（2πt-θ△t）}^2}}}}}$
• D． $\frac{s}{θ}\root{3}{{\frac{{{θ^2}△{t^2}}}{{{{（θ△t-2πt）}^2}}}}}$

Answer 1

分析 對于航天器：s=rθ可求出軌道半徑，航天器的角速度為：ω=$\frac{θ}{t}$ 航天器的周期為T=$\frac{2πt}{θ}$，再由兩次相重合的條件可表示出同步衛(wèi)星的周期，再據(jù)開普勒第三定律列等式求得同步衛(wèi)星的軌道半徑即為同步衛(wèi)星的離行星的球心距離．

解答 解：航天器的軌道半徑為：r=$\frac{s}{θ}$，航天器的角速度為：ω=$\frac{θ}{t}$ 航天器的周期為T=$\frac{2πt}{θ}$
設(shè)同步衛(wèi)星的周期為T′，則其角速度ω′=$\frac{2π}{T′}$
因時間間隔是△t，則：tω△t-ω′△=2π  得$T′=\frac{2πt△t}{θ△t-2πt}$

又由開普勒第三定律：$\frac{{r}^{3}}{r{′}^{3}}$=$\frac{{T}^{2}}{T{′}^{2}}$可得r′=$\frac{s}{θ}\sqrt{\frac{{θ}^{2}△{t}^{2}}{（θ△t-2πt）^{2}}}$，
故D正確，ABC錯誤
故選：D

點評 由開普勒第三定律確定周期與半徑的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，明確定再次重合為兩者的轉(zhuǎn)過的角度差為2π．