Question

隨著我國(guó)綜合國(guó)力的提高，近年我國(guó)的高速公路網(wǎng)發(fā)展迅猛．在高速公路轉(zhuǎn)彎處，采用外高內(nèi)低的斜坡式彎道，可使車輛通過(guò)彎道時(shí)不必大幅減速，從而提高通過(guò)能力且節(jié)約燃料．若某處這樣的彎道為半徑r=100m的水平圓弧，其橫截面如圖所示．tanθ=0.4，取g=10m/s²，

11.25

=3.36．
（1）求最佳通過(guò)速度，即不出現(xiàn)側(cè)向摩擦力的速度
（2）若側(cè)向動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5，且最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，求最大通過(guò)速度．

Answer 1

分析：（1）車輛以最佳速度通過(guò)彎道時(shí)，由重力和路面的支持力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律和向心力公式求解．
（2）汽車轉(zhuǎn)彎時(shí)，靜摩擦力沿斜面向下達(dá)到最大時(shí)，速度最大，再根據(jù)牛頓第二定律可求出汽車轉(zhuǎn)彎的最大車速；

解答：解：（1）車輛以最佳速度通過(guò)彎道時(shí)，由重力和路面的支持力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律得：
mgtanθ=m

v2

r

，
得：v=

grtanθ

=

10×100×0.4

m/s=20m/s=72km/h．
（2）當(dāng)以最大速度轉(zhuǎn)彎時(shí)，最大靜摩擦力沿斜面向下，此時(shí)根據(jù)牛頓第二定律，車在豎直方向平衡，有：Ncosθ=mg+fsinθ  
車在水平方向有：Nsinθ+fcosθ=m

v 2 m

r

又 f_m=μN(yùn)
以上三式解得：v_m=

(sinθ+μcosθ)gr cosθ-μsinθ

=

(tanθ+μ)gr 1-μtanθ

=33.6 m/s=121 km/h．
由此解得最大速度為：v_m=m/s．故汽車不出現(xiàn)側(cè)向摩擦力的速度為m/s，
答：（1）最佳通過(guò)速度，即不出現(xiàn)側(cè)向摩擦力的速度為20m/s．
（2）最大通過(guò)速度為121 km/h

點(diǎn)評(píng)：熟記摩擦力公式和向心力公式是解決本題的關(guān)鍵，弄清向心力是由哪些力提供的，通常這樣找向心力：沿半徑方向的所有力的合力提供該物體做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力．