Question

3．在半徑R=5000km的某星球表面，宇航員做了如下實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)裝置如圖甲所示，豎直平面內(nèi)的光滑軌道由軌道AB和圓弧軌道BC組成，將質(zhì)量m=0.2kg的小球從軌道AB上高H處的某點(diǎn)靜止滑下，用力傳感器測出小球經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)對軌道的壓力F，改變H的大小，可測出相應(yīng)的F的大小，F(xiàn)隨H的變化關(guān)系如圖乙所示，求：

（1）圓軌道的半徑．
（2）該星球的第一宇宙速度．

Answer 1

分析 （1）小球從A到C運(yùn)動(dòng)的過程中，只有重力做功，機(jī)械能守恒，根據(jù)機(jī)械能守恒定律和牛頓第二定律求出小球?qū)�軌道C點(diǎn)的壓力與H的關(guān)系式，然后結(jié)合F-H圖線求出圓軌道的半徑．
（2）第一宇宙速度與貼著星球表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度相等，根據(jù)萬有引力等于重力，求出該星球的第一宇宙速度．

解答 解：
（1）設(shè)該星球表面的重力加速度為g₀，圓軌道的半徑為r．當(dāng)H=0.4m時(shí)，小球恰能通過C點(diǎn)，此時(shí)F=0
由機(jī)械能守恒得：
mg₀（H-2r）=$\frac{1}{2}$mv₀²
由圓周運(yùn)動(dòng)可得：mg₀=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$
由以上各式解得：r=$\frac{2}{5}$H=2 m
（2）當(dāng)H₁=10m時(shí)，
mg₀（H₁-2r）=$\frac{1}{2}$mv²
mg₀+F=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
由F-H圖象可得：g₀=5m/s²
根據(jù)萬有引力定律和向心力公式有：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg₀
由⑦⑧⑨得該星球的第一宇宙速度：v=$\sqrt{{g}_{0}R}$=$\sqrt{5×5000×1{0}^{3}}$=5×10³m/s=5km/s．    
答：（1）圓弧軌道BC的半徑為2m．
（2）該星球的第一宇宙速度為5km/s

點(diǎn)評 本題是牛頓運(yùn)動(dòng)定律與機(jī)械能守恒定律的綜合題，解決本題的關(guān)鍵根據(jù)該規(guī)律得出壓力F與H的關(guān)系式．